Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標是（8，4），連接AC，BC．
（1）求過O，A，C三點的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）動點P從點O出發(fā)，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，PA=QA？
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點A，B坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形；
（2）根據(jù)運動表示出OP=2t，CQ=10-t，判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；
（3）分三種情況用平面坐標系內(nèi)，兩點間的距離公式計算即可，

解答 解：（1）∵直線y=-2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點，
∴A（5，0），B（0，10），
∵拋物線過原點，
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
∵拋物線過點A（5，0），C（8，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=0}\\{64a+8b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{6}}\\{b=-\frac{5}{6}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x，
∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），
∴AB²=5²+10²=125，BC²=8²+（10-4）²=100，AC²=4²+（8-5）²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
（2）如圖1，

當P，Q運動t秒，即OP=2t，CQ=10-t時，
由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，
在Rt△AOP和Rt△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=OA}\\{PA=QA}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP=CQ，
∴2t=10-t，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴當運動時間為$\frac{10}{3}$時，PA=QA；
（3）存在，
∵y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x，
∴拋物線的對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，
∵A（5，0），B（0，10），
∴AB=5$\sqrt{5}$
設(shè)點M（$\frac{5}{2}$，m），
①若BM=BA時，
∴（$\frac{5}{2}$）²+（m-10）²=125，
∴m₁=$\frac{20+5\sqrt{19}}{2}$，m₂=$\frac{20-5\sqrt{19}}{2}$，
∴M₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{20+5\sqrt{19}}{2}$），M₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{20-5\sqrt{19}}{2}$），
②若AM=AB時，
∴（$\frac{5}{2}$）²+m²=125，
∴m₃=$\frac{5\sqrt{19}}{2}$，m₄=-$\frac{5\sqrt{19}}{2}$，
∴M₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），M₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），
③若MA=MB時，
∴（$\frac{5}{2}$-5）²+m²=（$\frac{5}{2}$）²+（10-m）²，
∴m=5，
∴M（$\frac{5}{2}$，5），此時點M恰好是線段AB的中點，構(gòu)不成三角形，舍去，
∴點M的坐標為：M₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{20+5\sqrt{19}}{2}$），M₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{20-5\sqrt{19}}{2}$），M₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），M₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分情況討論，也是本題的難點．