Question

【題目】如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交拋物線于另一點(diǎn)，點(diǎn)、位于點(diǎn)的同側(cè)．

求拋物線的解析式；

若，求一次函數(shù)的解析式；

在的條件下，當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得同時(shí)與軸和直線都相切，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2)或;(3)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=1可求出m的值，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出n值，此題得解；
（2）根據(jù)P、A、B三點(diǎn)共線以及PA：PB=3：1結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AP的解析式；
（3）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，依照題意畫出圖形，根據(jù)角的計(jì)算找出∠DCF=∠EPF，再通過解直角三角形找出關(guān)于r的一元一次方程，解方程求出r值，將其代入點(diǎn)C的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解：∵拋物線的對(duì)稱軸為，
∴，解得：．
將點(diǎn)代入中，
，解得：，
∴拋物線的解析式為．

∵、、三點(diǎn)共線，，且點(diǎn)、位于點(diǎn)的同側(cè)，
∴，
又∵點(diǎn)為軸上的點(diǎn)，點(diǎn)，
∴．
當(dāng)時(shí)，有，
解得：，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
將點(diǎn)、代入中，
，解得：；
將點(diǎn)、代入中，
，解得：．
∴一次函數(shù)的解析式或．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∵，
∴直線的解析式為．
當(dāng)時(shí)，，

解得：，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
令與直線的切點(diǎn)為，與軸的切點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)為，連接，如圖所示．
∵，，
∴．
在中，，，
∴，
解得：或．
故當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得同時(shí)與軸和直線都相切，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．