Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C、E在半圓AB上，CF⊥AB于點F，BE交CF于點D，且∠BDF=2∠C 
（1）求證：

BC

=

EC

；
（2）若CF=8，OA=10，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）延長CF交⊙O于M，由CF⊥AB，推出

BM

=

BC

，再由∠BDF=2∠C，推出∠C=∠DBC，求得

BM

=

CE

后即可推出結論，
（2）連接OC，交BE于H，根據（1）所推出的結論求得OH⊥BE，由AB直徑，推出∠E=90°，求證OH∥AE，根據平行線的性質推出OH=

1

2

AE后，通過求證△OBH和△OCF全等，結合勾股定理即可推出OH=OF=6，求出AE后，根據勾股定理即可求出BE=16．

解答：（1）證明：延長CF交⊙O于M，
∵CF⊥AB，
∴

BM

=

BC

，
∵∠BDF=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴

BM

=

CE

，
∴

BC

=

CE

，

（2）解：連接OC，交BE于H，
∵

BC

=

CE

，
∴OH⊥BE，
∵AB直徑，
∴∠E=90°，
∴OH∥AE，
∴OH=

1

2

AE，
∵在△OBH和△OCF中，

∠BOH=∠COF ∠OHB=∠OFC OB=OC

，
∴△OBH≌△OCF（AAS），
∵OA=10，
∴OB=OC=10，
∴AB=20，
∴OH=OF=

102-82

=6，
∴AE=12，
∴BE=

AB2-AE2

=

202-122

=16．

點評：本題主要考查全等三角形的判定及性質，勾股定理的運用，垂徑定理及圓周角定理等知識點，關鍵在于熟練應用相關的性質定理，（1）正確的做出輔助線，根據外角的性質，垂徑定理，圓周角，弦的關系推出

BM

=

BC

，

BM

=

CE

，（2）連接OC后，根據相關的性質定理推出OH⊥BE，正確的推出OH=

1

2

AE，關鍵在于求證△OBH≌△OCF．