Question

如圖，設(shè)AB是已知線段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中點E，連接EB；延長DA至F，使EF=EB；以線段AF為邊作正方形AFGH．則點H是AB的黃金分割點．
為什么說上述的方法作出的點H是這條線段的黃金分割點，你能說出其中的道理嗎？請試一試，說一說．

Answer 1

分析：根據(jù)黃金分割點的定義，只需證明AH²=AB•HB即可．

解答：解：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，
在Rt△AEB中，依題意，得AE=1，AB=2，
由勾股定理知EB=

AB2+AE2

=

4+1

=

5

，
∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=

5

-1，
HB=AB-AH=3-

5

；
∴AH²=（

5

-1）²=6-2

5

，
AB•HB=2×（3-

5

）=6-2

5

，
∴AH²=AB•HB，
所以點H是線段AB的黃金分割點．

點評：能夠根據(jù)已知條件結(jié)合勾股定理求得線段的長，能夠用黃金分割點的定義進行證明．