Question

如圖，△ODC中，∠D=90°，EC是∠DCO的平分線，OE⊥CE，點E作EF⊥OC于點F，判斷EF與OD之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,角平分線的性質

專題：

分析：延長CD和OE，使CD、OE相交于H，過E點作EG⊥HD，根據等腰三角形三線合一的性質可得OE=EH，再判斷出EG是△OHD的中位線，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EG=

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OD，然后根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得EF=EG，等量代換即可得證．

解答：解：如圖，延長CD和OE，使CD、OE相交于H，過E點作EG⊥HD，
在△OHC中，∵EC是∠DCO的平分線且EC⊥OE，
∴OE=EH（等腰三角形三線合一），
在△OHD中，
∵EG⊥HD，OD⊥HD，
∴EG∥OD，
∴EG是△OHD的中位線，
∴EG=

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OD，
又∵EC是∠DCO的平分線，EG⊥HD，EF⊥OC，
∴EG=EF，
∴EF=

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OD．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，熟記性質并作輔助線是解題的關鍵．