Question

26、如圖，正方形CGEF的對(duì)角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上（CG＞BC），M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交CE于N．
（1）線段AD與NE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件證明△ADM≌△ENM，從而證明線段AD與線段NE相等．
（2）根據(jù)已知條件證明△DCF≌△NEF，證明出線段DF與線段FN相等，從而證出△FDN為等腰三角形，再根據(jù)題（1）中已證明△ADM≌△ENM，所以DM=MN．進(jìn)而求出線段MD、MF的關(guān)系．

解答：（1）證明：根據(jù)題意，知AD∥BC．
∴∠EAD=∠AEN（內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵∠DMA=∠NME（對(duì)頂角相等），
又∵M(jìn)是線段AE的中點(diǎn)，
∴AM=ME．
∴△ADM≌△ENM（ASA）．
∴AD=NE（對(duì)應(yīng)邊相等）．

（2）證明：連接線段DF，線段FN，
線段CE是正方形的對(duì)角線，∠DCF=∠NEF=45°，
根據(jù)上題可知線段AD=NE，
又∵四邊形CGEF是正方形，
∴線段FC等于FE．
∴△DCF≌△NEF（SAS）．
∴線段FD=FN．
∴△FDN是等腰三角形．
∵在題（1）中已證明△ADM≌△ENM，
∴DM=MN．
∴線段MD⊥線段MF．

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理來(lái)判定三角形全等，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)來(lái)解答問(wèn)題．