Question

一元二次方程x²+2x+k-1=0的實數解是x₁和x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果y=

x

2 1

+

x

2 2

-x₁x₂，求y的最小值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數的關系,一次函數的性質

專題：計算題

分析：（1）根據判別式的意義得到△=2²-4（k-1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-2，x₁x₂=k-1，則y=（x₁+x₂）²-3x₁x₂=4-3（k-1）=-3k+7，然后利用一次函數的性質求解．

解答：解：（1）根據題意得△=2²-4（k-1）≥0，
解得k≤2；

（2）根據題意得x₁+x₂=-2，x₁x₂=k-1，
y=（x₁+x₂）²-3x₁x₂=4-3（k-1）=-3k+7，
因為k≤2，
而y隨k增大而減小，
所以當k=2時，y最小值=-3×2+7=1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的根與系數的關系以及一次函數的性質．