Question

12．關(guān)于x的二次函數(shù)y=2sinαx²-（4sinα+$\frac{1}{2}$）x-sinα+$\frac{1}{2}$，其中a為銳角，則：
①當(dāng)a等于30°時(shí)，函數(shù)有最小值-$\frac{25}{16}$；
②當(dāng)a不等于30°時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸一定有三個(gè)交點(diǎn)；
③當(dāng)a＜60°時(shí)，函數(shù)在x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；
④無論銳角a怎么變化，函數(shù)圖象必過定點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． ①③
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①由于2sina＞0，所以函數(shù)一定有最小值，將a的值代入拋物線的解析式中，將解析式寫成頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最小值；
②令y=0，在所得方程中若根的判別式大于0，那么拋物線的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可能有三個(gè)；
③由①知，拋物線的開口向上，所以一定有最小值；首先求出拋物線的對(duì)稱軸方程，若x=1在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，那么y隨x的增大而增大；若x=1在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，那么隨x的增大，y值先減小后增大．
④圖象若過定點(diǎn)，那么函數(shù)值就不能受到變量sina的影響，所以先將所有含sina的項(xiàng)求出來，然后令sina的系數(shù)為0，可據(jù)此求出x的值，將x的值代入拋物線的解析式中，即可得到這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：①當(dāng)a=30°時(shí)，sina=$\frac{1}{2}$，二次函數(shù)解析式可寫作：y=x²-$\frac{5}{2}$x=（x-$\frac{5}{4}$）²-$\frac{25}{16}$；
所以當(dāng)a為30°時(shí)，函數(shù)的最小值為-$\frac{25}{16}$；故①正確；
②令y=0，則有：2sinax²-（4sina+$\frac{1}{2}$）x-sina+$\frac{1}{2}$=0，
△=（4sina+$\frac{1}{2}$）²-4×2sina×（-sina+$\frac{1}{2}$）=24sin²a+$\frac{1}{4}$＞0，
所以拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，再加上拋物線與y軸的交點(diǎn)，即與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，②正確；
③∵2sina＞0，且對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=1+$\frac{1}{8sinα}$＞1，
∴x=1在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，因此 x＞1時(shí)，y隨x的增大先減小后增大；故③錯(cuò)誤．
④y=2sinax²-（4sina+$\frac{1}{2}$）x-sina+$\frac{1}{2}$=sina（2x²-4x-1）-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；
當(dāng)2x²-4x-1=0，即 x=1±$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意一元二次方程的根的判斷和方程的解法．