Question

4．如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，AC與ED交于點(diǎn)O，AC=BD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接OE．
（1）求證：BC=AD；
（2）求證：線段OE所在的直線是AB的垂直平分線．

Answer 1

分析 （1）利用HL定理可證得Rt△ADB≌Rt△BCA，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論，利用AAS定理，可得△ADO≌△BCO，利用全等三角形的性質(zhì)可得AO=BO，據(jù)線段垂直平分線的判定可得到點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，證得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在Rt△ADB與Rt△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{BA=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），
∴BC=AD；

（2）在△ADO與△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠BOC}\\{∠D=∠C=90°}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴AO=BO，
∴點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∴點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，
∴線段OE所在的直線是AB的垂直平分線．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)和線段垂直平分線的判定，掌握到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．