Question

1．某商場試銷一種商品，成本為每件200元，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于50%，一段時間后，發(fā)現銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系如表：

銷售單價x（元）	…	230	235	240	245	…
銷售量y（件）	…	440	430	420	410	…

（1）請根據表格中所給數據，求出y關于x的函數關系式；
（2）若商場要獲利28050元，則銷售單價應走為多少元？
（3）如果你是該商場經理，你將如何決策使商場能獲得最大盈利？

Answer 1

分析 （1）設y與x的函數關系式為y=kx+b，利用待定系數法求得函數的解析式即可；
（2）先求得單價的定價范圍，然后根據利潤=每件獲利×件數列出利潤的函數關系式，令w=28050得到一元二次方程求解即可；
（3）根據自變量的取值和二次函數的對稱性即可求得最大利潤．

解答 解：（1）根據所給數據可知y與x的圖象是一條直線．設y與x的函數關系式為y=kx+b．
將x=230，y=440；x=235，y=430代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{230k+b=440}\\{235k+b=430}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=900}\end{array}\right.$，
∴y=-2x+900
經驗證，x=240，y=420；x=245，y=410都滿足上述函數關系式
∴y與x的函數關系式為y=-2x+900；

（2）由題意得：200≤x≤200×（1+50%），
∴200≤x≤300．
W=（x-200）（-2x+900）=-2（x-325）²+31250
令w=28050，
得：28050=-2（x-325）²+31250
解得：x=365（舍去）或x=285，
答：若商場要獲利28050元，則銷售單價應走為285元；

（3）∵W=-2（x-325）²+31250中a=-2＜0，
∴拋物線開口向下．
∵200≤x≤300，在對稱軸x=325的左側，
∴W隨x的增大而增大．
∴當x=300時，W有最大值，W_最大=-2×（300-325）²+31250=30000元．
答：商品的銷售單價定為300元時，才能使所獲利潤最大，最大利潤時30000元．

點評 本題主要考查的是二次函數的最值問題，確定拋物線的對稱軸以及自變量的取值范圍是解題的關鍵．