Question

如圖①， 已知拋物線（a≠0）與軸交于點A(1，0)和點B (－3，0)，與y軸交于點C．

(1) 求拋物線的解析式；

 (2) 點D的坐標為（－2，0）.問：直線AC上是否存在點F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

(3) 如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求△BCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 存在符合條件的點P, 其坐標為P (－1, 2 )或P(－,)或P(－,)(3) 最大值為  ，點E 坐標為 (－，)

【解析】解: (1)由題知:  解得:  

∴ 所求拋物線解析式為: ……3分

      (2) 存在符合條件的點P, 其坐標為P (－1, 2 )或P(－,)

或P(－,)……3分

(3)過點E 作EF⊥x 軸于點F , 設E ( a ,--2a＋3 )( －3< a < 0 )

∴EF=--2a＋3，BF=a＋3，OF=－a

∴S_{四邊形BOCE} = BF·EF + (OC +EF)·OF  

=( a＋3 )·(－－2a＋3) + (－－2a＋6)·（－a）

==－+ 

∴ 當a =－時，S_{四邊形BOCE} 最大, 且最大值為 ．……3分

∴S_{四邊形BOCE}－S_△ABC =－6=

∴點E 坐標為 (－，)……1分

（1）由拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）點A（1，0）和點B （-3，0），由待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值而求出拋物線的解析式．

（2）由（1）的解析式就可以求出C點的坐標，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP₁=NP₁時，

作P1H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P₁N的值，從而求出P₁的坐標；

（3）設出點E的坐標，連接BE、CE，作EG⊥OB于點G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四邊形BOCE的面積，然后化為頂點式就可以求出其面積的最大值．