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【題目】對于某一函數(shù)給出如下定義:若存在實數(shù)p,當(dāng)其自變量為p時,其函數(shù)值等于p,則稱p為這個函數(shù)的不變值,在函數(shù)存在不變值時,該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數(shù)的不變長度.特別地,當(dāng)函數(shù)只有一個不變值時,其不變長度q為零.
(1)判斷函數(shù)y=
有沒有不變值?如果有,直接寫出其不變長度.
(2)函數(shù)y=3x2-bx.
①若其不變長度為零,求b的值;
②若2≤b≤5,求其不變長度q的取值范圍.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過兩個確定點A、B,其中A為頂點,B為拋物線與y軸的交點.
(1)由拋物線的性質(zhì)可知,該拋物線還經(jīng)過一個確定點C,請寫出找點C的方法(不要求畫圖);
(2)若A(1,4)、B(0,3),求拋物線的解析式.
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【題目】如圖1,點
和矩形
的邊
都在直線
上,以點
為圓心,以24為半徑作半圓,分別交直線
于
兩點.已知:
,
,矩形自右向左在直線
上平移,當(dāng)點
到達(dá)點
時,矩形停止運動.在平移過程中,設(shè)矩形對角線
與半圓
的交點為
(點
為半圓上遠(yuǎn)離點
的交點).
(1)如圖2,若
與半圓
相切,求
的值;
(2)如圖3,當(dāng)
與半圓
有兩個交點時,求線段
的取值范圍;
(3)若線段
的長為20,直接寫出此時
的值.
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【題目】跳繩是大家喜聞樂見的一項體育運動,集體跳繩時,需要兩人同頻甩動繩子,當(dāng)繩子甩到最高處時,其形狀可近似看作拋物線,下圖是小明和小亮甩繩子到最高處時的示意圖,兩人拿繩子的手之間的距離為4
,離地面的高度為1
,以小明的手所在位置為原點建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)當(dāng)身高為15
的小紅站在繩子的正下方,且距小明拿繩子手的右側(cè)1
處時,繩子剛好通過小紅的頭頂,求繩子所對應(yīng)的拋物線的表達(dá)式;
(2)若身高為
的小麗也站在繩子的正下方.
①當(dāng)小麗在距小亮拿繩子手的左側(cè)1.5
處時,繩子能碰到小麗的頭嗎?請說明理由;
②設(shè)小麗與小亮拿繩子手之間的水平距離為
,為保證繩子不碰到小麗的頭頂,求
的取值范圍.(參考數(shù)據(jù):
取3.16)
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【題目】如圖,
,且
,直線
經(jīng)過點
.設(shè)
,
于點
,將射線
繞點
按逆時針方向旋轉(zhuǎn)
,與直線
交于點
.
(1)當(dāng)
時,
;
(2)求證:
;
(3)若
的外心在其內(nèi)部,直接寫出
的取值范圍.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形
的頂點
與坐標(biāo)原點重合,頂點
分別在坐標(biāo)軸的正半軸上,
,點
在直線
上,直線
與折線
有公共點.
(1)點
的坐標(biāo)是 ;
(2)若直線
經(jīng)過點
,求直線
的解析式;
(3)對于一次函數(shù)
,當(dāng)
隨
的增大而減小時,直接寫出
的取值范圍.
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【題目】如圖,認(rèn)真觀察下面這些算式,并結(jié)合你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,完成下列問題:
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(1)請寫出:
算式⑤ ;
算式⑥ ;
(2)上述算式的規(guī)律可以用文字概括為:“兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除”,如果設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)分別為
和
(
為整數(shù)),請說明這個規(guī)律是成立的;
(3)你認(rèn)為“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”這個說法是否也成立呢?請說明理由.
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【題目】學(xué)校為了提高學(xué)生跳遠(yuǎn)科目的成績,對全校500名九年級學(xué)生開展了為期一個月的跳遠(yuǎn)科目強(qiáng)化訓(xùn)練。王老師為了了解學(xué)生的訓(xùn)練情況,強(qiáng)化訓(xùn)練前,隨機(jī)抽取了該年級部分學(xué)生進(jìn)行跳遠(yuǎn)測試,經(jīng)過一個月的強(qiáng)化訓(xùn)練后,再次測得這部分學(xué)生的跳遠(yuǎn)成績,將兩次測得的成績制作成圖所示的統(tǒng)計圖和不完整的統(tǒng)計表(滿分10分,得分均為整數(shù)).
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根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)訓(xùn)練后學(xué)生成績統(tǒng)計表中
,并補(bǔ)充完成下表:
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(2)若跳遠(yuǎn)成績9分及以上為優(yōu)秀,估計該校九年級學(xué)生訓(xùn)練后比訓(xùn)練前達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)增加了多少?
(3)經(jīng)調(diào)查,經(jīng)過訓(xùn)練后得到9分的五名同學(xué)中,有三名男生和兩名女生,王老師要從這五名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)寫出訓(xùn)練報告,請用列表或畫樹狀圖的方法,求所抽取的兩名同學(xué)恰好是一男一女的概率.
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【題目】已知正方形
和正六邊形
邊長均為1,如圖所示,把正方形放置在正六邊形外,使
邊與
邊重合,按下列步驟操作:將正方形在正六邊形外繞點
逆時針旋轉(zhuǎn),使
邊與
邊重合,完成第一次旋轉(zhuǎn)再繞點
逆時針旋轉(zhuǎn),使
邊與
邊重合,完成第二次旋轉(zhuǎn);此時點
經(jīng)過路徑的長為_________:若按此方式旋轉(zhuǎn),共完成六次,在這個過程中,點
之間距離的最大值是____.
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