Question

15．密度均勻的正方體A和B，其中正方體A的邊長為0.1米，質量為0.4千克；正方體B的邊長為0.2米，密度為200千克/米³．正方體A和B均放在水平地面上．求：
（1）正方體A的密度．
（2）正方體B對地面的壓力．
（3）如圖所示，若從正方體A和B的上部各挖出一個體積均為V的小正方體后，此時它們對地面的壓強分別為P_A′和P_B′，是否有可能使P_A′=$\frac{1}{2}$P_B′，如果有可能，求出V，如果沒有可能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知正方體A的邊長，可以得到體積；已知體積和質量，可以得到A的密度；
（2）已知正方體B的邊長，可以得到體積；已知體積和密度，可以得到B的質量，進一步得到重力；放在水平面上的物體，對水平面的壓力等于其重力；
（3）假設從正方體A和B的上部各挖出一個體積均為V的小正方體后，有可能使P_A′=$\frac{1}{2}$P_B′，根據壓強等量關系得到方程求解V，最后判斷是否符合實際．

解答 解：
（1）正方體A的體積為V_A=（a_A）³=（0.1m）³=10^-3m³，
因為ρ=$\frac{m}{V}$，
所以正方體A的密度為ρ_A=$\frac{{m}_{A}}{{V}_{A}}$=$\frac{0.4kg}{1{0}^{-3}{m}^{3}}$=400kg/m³；
（2）正方體B的體積為V_B=（a_B）³=（0.2m）³=8×10^-3m³，
正方體B對水平面的壓力F_B=G_B=m_Bg=ρ_BV_Bg=200kg/m³×8×10^-3m³×10N/kg=16N；
（3）因為p=$\frac{F}{S}$，
設兩個正方體挖去的體積為V，根據題意得
p_A′=$\frac{{F}_{A}′}{{S}_{A}}$=$\frac{{G}_{A}′}{{S}_{A}}$=$\frac{{G}_{A}-{ρ}_{A}gV}{{S}_{A}}$，
$\frac{1}{2}$p_B′=$\frac{1}{2}×\frac{{F}_{B}′}{{S}_{B}}$=$\frac{1}{2}×\frac{{G}_{B}′}{{S}_{B}}$=$\frac{1}{2}×\frac{{G}_{B}-{ρ}_{B}gV}{{S}_{B}}$，
假設p_A′=$\frac{1}{2}$p_B′，
即$\frac{{G}_{A}-{ρ}_{A}gV}{{S}_{A}}$=$\frac{1}{2}×\frac{{G}_{B}-{ρ}_{B}gV}{{S}_{B}}$，
帶入數值得
$\frac{0.4kg×10N/kg-400kg/{m}^{3}×10N/kg×V}{（0.1m）^{2}}$=$\frac{1}{2}×\frac{200kg/{m}^{3}×10N/kg×8×1{0}^{-3}{m}^{3}-200kg/{m}^{3}×10N/kg×V}{（0.2m）^{2}}$，
解得V=10^-3m³，
而A的體積為10^-3m³，所以不可能．
答：
（1）正方體的密度為400kg/m³；
（2）正方體B對水平面的壓力為16N；
（3）不可能使P_A′=$\frac{1}{2}$P_B′．

點評 此題考查的是我們對密度、重力、壓強計算公式的掌握和應用，是一道力學綜合題，根據壓強等量關系得到V的大小，是解答最后一小題的關鍵．