Question

7．底面積為S₀的圓柱形薄壁容器內(nèi)裝有密度為ρ₀的液體，橫截面積為S₁的圓柱形木塊由一段非彈性細(xì)線與容器底部相連，且部分浸入液中，此時細(xì)線剛好伸直，如圖所示．已知細(xì)線所能承受的最大拉力為T，現(xiàn)往容器中再緩慢注入密度為ρ₀的液體，直到細(xì)線剛好被拉斷為止．請解答下列問題；
（1）畫出細(xì)線剛好伸直時，木塊在豎直方向上的受力示意圖；
（2）導(dǎo)出細(xì)線未拉斷前，細(xì)線對木塊拉力F與注入的液體質(zhì)量m之間的關(guān)系式；
（3）求出細(xì)線剛好被拉斷時與細(xì)線斷后容器中液面恢復(fù)穩(wěn)定時，容器底部所受液體壓強(qiáng)的變化量．

Answer 1

分析 （1）細(xì)線剛好伸直時，木塊豎直方向上受到重力和浮力作用，二力平衡，大小相等，根據(jù)力的示意圖畫法，畫出二力的示意圖；
（2）隨著液面的上升，浮力增大，繩子的拉力增大，細(xì)線的拉力F等于增大的浮力，即F=△F_浮=ρ₀gV_排，；由密度公式ρ=$\frac{m}{V}$的變形公式m=ρV和體積公式V=Sh表示出容器內(nèi)注入的液體質(zhì)量，二式聯(lián)立可得到細(xì)線對木塊拉力F與注入的液體質(zhì)量m之間的關(guān)系式；
（3）細(xì)線剛好被拉斷時，木塊受到重力、浮力和細(xì)線的拉力，其關(guān)系式為F_浮=G+T；細(xì)線斷后容器中液面恢復(fù)穩(wěn)定時，木塊漂浮，F(xiàn)${\;}_{浮}^{′}$=G；將二式聯(lián)立，根據(jù)阿基米德原理和壓強(qiáng)計算公式，得出容器底部所受液體壓強(qiáng)的變化量．

解答 解：（1）細(xì)線剛好伸直時，木塊受到重力和浮力作用，二力平衡，大小相等，力的作用點(diǎn)畫在重心上，如圖所示：

（2）注入液體的質(zhì)量為m時，細(xì)線對木塊的拉力為F，液面上升的高度為△h，
細(xì)線對木塊的拉力F等于木塊增大的浮力，則有：
F=△F_浮=ρ₀gV_排=ρ₀gS₁△h，①
由ρ=$\frac{m}{V}$得，容器內(nèi)注入的液體質(zhì)量：
m=ρ₀V_液=ρ₀（S₀-S₁）△h，②
將①式和②式聯(lián)立，解得：
F=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{0}-{S}_{1}}$mg；
（3）當(dāng)細(xì)線剛好被拉斷時，F(xiàn)_浮=G+T，
液面恢復(fù)穩(wěn)定后，F(xiàn)_浮′=G，
即：F_浮-F_浮′=T，
結(jié)合阿基米德原理可得：ρ₀g（V_排-V_排′）=T，
即：ρ₀g△h′S₀=T------①，
而液體壓強(qiáng)的變化量：△p=ρ₀g△h′------②
由①②可得：△p=$\frac{T}{{S}_{0}}$．
答：（1）見上圖；
（2）導(dǎo)出細(xì)線未拉斷前，細(xì)線對木塊拉力F與注入的液體質(zhì)量m之間的關(guān)系式為：F=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{0}-{S}_{1}}$mg；
（3）求出細(xì)線剛好被拉斷時與細(xì)線斷后容器中液面恢復(fù)穩(wěn)定時，容器底部所受液體壓強(qiáng)的變化量為△p=$\frac{T}{{S}_{0}}$．

點(diǎn)評 本題考查了阿基米德原理、密度公式、壓強(qiáng)公式、力的合成知識的綜合運(yùn)用，對木塊正確的受力分析，靈活運(yùn)用阿基米德原理和液體壓強(qiáng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，屬于難題．