Question

17．兩個實心物體A，B，由密度均為ρ（ρ≠ρ_水）的同種材料制成，重力分別為G_A，G_B，將A，B物體懸于一輕質杠桿上，并浸沒在水中，杠桿平衡，如圖（1），且AO=8OB；當用甲、乙兩組滑輪分別勻速提升A、B兩物體，如圖（2），兩動滑輪重均為G_動，此時兩滑輪組的機械效率之比為65：72；若將A物體浸沒于水中，用滑輪組甲勻速提升，如圖（3）所示，勻速提升過程中A物體終究沒露出水面，此時甲滑輪組機械效率為75%，不計繩重和摩擦，ρ_水=1×10³kg/m³，求A、B物體的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）圖1中，由兩物體是同種材料制成的，根據物體的重力利用公式G=mg=ρVg分別求出物體的體積，根據阿基米德原理分別求出物體AB的浮力，根據物體受力平衡分別求出物體AB分別對杠桿的拉力，最后根據杠桿平衡條件A、B兩物體的重力之比．
（2）從圖2可知，利用滑輪組提升重物時，不計繩重和摩擦，對物體所做的功為有用功，對動滑輪所做的功為額外功．則由機械效率公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{有用}+{W}_{額}}$=$\frac{{G}_{物}h}{{G}_{物}h+{G}_{動}h}$=$\frac{{G}_{物}}{{G}_{物}+{G}_{動}}$，知道兩滑輪組的機械效率之比，利用該公式列出一個關于機械效率比值的等式，又知道A、B兩物體的重力之比，從而可以計算出動滑輪重力G_動與A物體重力G_A的比值．
（3）在圖丙中，物體A受到三個力的作用，豎直向下的重力G_A、豎直向上的浮力F_A浮和繩子對物體的拉力F，則繩子對物體的拉力F=G_A-F_浮．則機械效率為η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{有用}+{W}_{額}}$=$\frac{{（G}_{A}-{F}_{浮}）h}{{（G}_{A}-{F}_{浮}）h+{G}_{動}h}$=$\frac{{G}_{A}-{F}_{浮}}{{G}_{A}-{F}_{浮}+{G}_{動}}$據此求出物體AB的密度．

解答 解：
（1）由G=mg=ρVg可知：物體A、B的體積分別為：V_A=$\frac{{G}_{A}}{ρg}$，V_B=$\frac{{G}_{B}}{ρg}$；
當浸沒在水中，排開水的體積與物體體積相等；
則物體A、B受到的浮力分別為：F_A浮=ρ_水gV_排A=ρ_水g$\frac{{G}_{A}}{ρg}$=$\frac{{ρ}_{水}}{ρ}$G_A，F(xiàn)_B浮=ρ_水gV_排B=ρ_水g$\frac{{G}_{B}}{ρg}$=$\frac{{ρ}_{水}}{ρ}$G_B，
所以對杠桿的拉力分別為：F_A=G_A-F_A浮=G_A-$\frac{{{ρ}_{水}G}_{A}}{ρ}$=（1-$\frac{{ρ}_{水}}{ρ}$）G_A，
F_B=G_B-F_B浮=G_B-$\frac{{ρ}_{水}}{ρ}$G_B=（1-$\frac{{ρ}_{水}}{ρ}$）G_B，
由于杠桿在水平位置平衡，則根據杠桿平衡條件得：F_A•AO=F_B•OB，
即：（1-$\frac{{ρ}_{水}}{ρ}$）G_A×8OB=（1-$\frac{{ρ}_{水}}{ρ}$）G_B×OB，
所以，8G_A=G_B------------------①，
（2）從圖2可知，利用滑輪組提升重物時，不計繩重和摩擦，由η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{有用}+{W}_{額}}$=$\frac{{G}_{物}h}{{G}_{物}h+{G}_{動}h}$=$\frac{{G}_{物}}{{G}_{物}+{G}_{動}}$可得：
$\frac{{η}_{A}}{{η}_{B}}$=$\frac{\frac{{G}_{A}}{{G}_{A}+{G}_{動}}}{\frac{{G}_{B}}{{G}_{B}+{G}_{動}}}$=$\frac{{G}_{A}}{{G}_{A}+{G}_{動}}$×$\frac{{G}_{B}+{G}_{動}}{{G}_{B}}$=$\frac{65}{72}$---------------②
由①式代入②式解得：G_動=$\frac{1}{8}$G_A，
即動滑輪重力G_動是A物體重力G_A的$\frac{1}{8}$倍．
（3）在圖丙中，物體A受到三個力的作用，豎直向下的重力G_A、豎直向上的浮力F_A浮和繩子對物體的拉力F，A物體一直沒露出水面，則V_排=V_A，
則機械效率為η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{有用}+{W}_{額}}$=$\frac{{（G}_{A}-{F}_{浮}）h}{{（G}_{A}-{F}_{浮}）h+{G}_{動}h}$=$\frac{{G}_{A}-{F}_{A浮}}{{G}_{A}-{F}_{A浮}+{G}_{動}}$=$\frac{{G}_{A}-{\frac{{ρ}_{水}}{ρ}G}_{A}}{{G}_{A}-{\frac{{ρ}_{水}}{ρ}G}_{A}+\frac{1}{8}{G}_{A}}$=$\frac{{ρ-ρ}_{水}}{\frac{9}{8}ρ-{ρ}_{水}}$×100%=75%，
而解得ρ_A=1.6ρ_水=1.6×1.0×10³kg/m³=1.6×10³kg/m³．
答：A、B物體的密度ρ是1.6×10³kg/m³．

點評 本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、壓強公式、效率公式、阿基米德原理的掌握和運用，知識點多、綜合性強，要求靈活運用所學知識求解，利用好機械效率的公式及其推導公式是解題的關鍵．