Question

20．如圖所示，輕質杠桿AB可繞O點在豎直平面內轉動，OA：OB=3：1．用細繩將圓柱體C懸掛在杠桿的A端并放入水中，再用細繩在杠桿B端懸掛一個完全相同的圓柱體D并放在水平地面上，當杠桿兩端細線均被拉直且杠桿AB恰好在水平位置平衡時，圓柱體C有$\frac{1}{3}$的體積露出液面，該圓柱體底面所受液體壓強為800Pa，此時圓柱體D對地面的壓強為600Pa．則圓柱體C的密度為7.5×10³kg/m³．（g取10N/kg）

Answer 1

分析 ①已知圓柱體底面受到水的壓強，可以得到圓柱體浸入水中的深度，進一步得到圓柱體的高度；
②已知圓柱體露出水面體積，可以得到圓柱體受到的浮力．圓柱體C對杠桿A端的拉力等于重力與浮力之差；已知圓柱體D對地面的壓強，可以得到圓柱體對地面的壓力，也就等于地面的支持力．圓柱體D對杠桿B端的拉力等于重力與地面支持力之差；已知杠桿兩端受到的拉力和力臂關系，根據(jù)杠桿平衡條件，列出方程求解圓柱體的密度．

解答 解：
①因為p=ρgh，
所以圓柱體浸入水中的深度是h_浸入=$\frac{p}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{800Pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.08m，
所以圓柱體C、D的高度都是h=$\frac{3}{2}$×0.08m=0.12m；
②設圓柱體的底面積是S，密度是ρ，
則圓柱體的重力為G_C=G_D=m_Cg=ρgSh；
圓柱體C受到的浮力為F_浮=ρ_水gS•（1-$\frac{1}{3}$）h=$\frac{2}{3}$ρ_水gS•h，
杠桿A端受到的拉力為F_A=G-F_浮=ρgSh-$\frac{2}{3}$ρ_水gS•h；
因為p=$\frac{F}{S}$，
所以圓柱體D對地面的壓力為F_D=p_DS，
地面對物體D的支持力為T=F_D=p_DS，
杠桿B端受到的拉力為F_B=G-p_DS=ρgSh-p_DS；
因為F₁L₁=F₂L₂，
所以
（ρgSh-$\frac{2}{3}$ρ_水gS•h）•OA=（ρgSh-p_DS）•OB，
化簡得
3×（ρgh-$\frac{2}{3}$ρ_水g•h）=ρgh-p_D，
ρ=$\frac{2{ρ}_{水}gh-{p}_{0}}{2gh}$，
代入數(shù)值，解得
ρ=$\frac{2×1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×0.12m-600Pa}{2×10N/kg×0.12m}$=0.75×10³kg/m³．
故答案為：0.75×10³．

點評 此題是一道力學綜合題，涉及到杠桿平衡條件、壓強、阿基米德原理、力的作用相互性等的應用，對物體進行正確的受力分析，根據(jù)等量關系列出正確的方程，是解答的關鍵．