Question

11．在實際生活中電池本身是有電阻的，因此，實際的電池可以等效為一個理想電源（電壓U恒定，電阻為0）與一個電阻r的串聯(lián)（圖甲所示）．在如圖乙所示電路中，合上開關(guān)S，變阻器的滑片從A端滑到B端的過程中，請你完成：
（1）推導出滑動變阻器的功率P_R跟電流表示數(shù)I之間關(guān)系的數(shù)學表達式；
（2）若滑動變阻器的最大值為R₀且R₀＞r，利用（1）推導出的表達式在圖丙中定性畫出P_R-I圖象．要求寫出分析過程．

Answer 1

分析 （1）由圖滑動變阻器與電池內(nèi)阻串聯(lián)，根據(jù)歐姆定律計算出電池內(nèi)阻兩端的電壓，根據(jù)串聯(lián)電路的電壓特點求出滑動變阻器兩端的電壓，根據(jù)P=UI表示出滑動變阻器消耗的電功率；
（2）根據(jù)P_R與I的表達式求出的最大值的坐標，畫出圖象．

解答 解：（1）由圖滑動變阻器R與電池內(nèi)阻r串聯(lián)，設(shè)電路中電流為I，
由I=$\frac{U}{R}$可得，電池內(nèi)阻兩端電壓：
U_r=Ir，
因串聯(lián)電路中總電壓等于各分電壓之和，
所以，R兩端電壓：
U_R=U-U_r=U-Ir，
則滑動變阻器的功率：
P_R=U_RI=（U-Ir）I=UI-I²r；
（2）由（1）P_R=UI-I²r=-rI²+UI
此表達式看成P_R與I的二次函數(shù)，二次項系數(shù)為-r，所以P_R有最大值，
當I=-$\frac{U}{2×（-r）}$=$\frac{U}{2r}$時，即R=r時，P_R有最大值，
最大值P_R=$\frac{4×（-r）×0-{U}^{2}}{4×（-r）}$=$\frac{{U}^{2}}{4r}$．
當R最大時，總電阻最大，電流中電流最小，I_最小=$\frac{U}{R+r}$，
此時R的功率：P_R′=I_最小²R=（$\frac{U}{R+r}$）²×R=$\frac{{U}^{2}R}{（R+r）^{2}}$，
圖象如圖所示：
．
答：（1）滑動變阻器的電功率P_R與電流表示數(shù)I之間關(guān)系的表達式為P_R=UI-I²r； 
（2）圖象及分析過程見上．

點評 本題考查串聯(lián)電路特點、歐姆定律和電功率公式應用，關(guān)鍵是公式的推導，這就要求我們利用好二次函數(shù)，有一定難度．