Question

（2011?昌平區(qū)一模）某工廠設(shè)計(jì)了一個(gè)蓄水池，如圖所示，水源A罐的液面高度h₁=3m，且保持不變．罐底有一個(gè)小出水口，面積為S₁，S₁=0.1m²．孔下通過一個(gè)截面積為S₂活塞與杠桿BC相連，S₂=0.24m²．杠桿可繞B端上下轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端有一個(gè)中空的圓柱體浮子，橫截面積為S₃，S₃=0.8m²，BO是杠桿總長

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．原設(shè)計(jì)打算當(dāng)杠桿水平時(shí)，浮子浸入水深為h₂，h₂=0.7m，活塞恰好能賭住出水口，但在使用時(shí)發(fā)現(xiàn)，活塞離出水口尚有一小段距離時(shí)，浮子便不再上浮，此時(shí)浮子浸入水深為h₃，h₃=1m，為了使活塞自動(dòng)堵住出水口，只得將浮子的質(zhì)量減去一部分，設(shè)減去的質(zhì)量為m′．（g取10N/kg，杠桿水平時(shí)，認(rèn)為BO仍是杠桿總長

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，活塞及連桿和杠桿的質(zhì)量均不計(jì)，杠桿所受浮力不計(jì)，浮子浸入水中體積變化引起的蓄水池液面變化忽略不計(jì)．）試求
（1）活塞應(yīng)上升的高度是多少；
（2）浮子應(yīng)減去質(zhì)量m′是多少．

Answer 1

分析：（1）活塞上升的高度即為O點(diǎn)上升的距離．杠桿由原來的位置到水平位置，浮子進(jìn)入水中的深度由現(xiàn)在的深度h3上升到設(shè)計(jì)的h2，同時(shí)O點(diǎn)上升到D點(diǎn)．通過兩次位置的變化，得到一對(duì)相似三角形，利用相似形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以求得OD的長度，即活塞上升的高度．
（2）以傾斜的杠桿為研究對(duì)象，分析出對(duì)杠桿的向上的作用力和對(duì)杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯(lián)系在一起，求得浮子原來的重力．
以水平的杠桿為研究對(duì)象，分析出此時(shí)對(duì)杠桿的向上的作用力和對(duì)杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯(lián)系在一起，求得浮子現(xiàn)在的重力．
兩次重力之差即為減去的浮子的重力，從而得到減去的浮子的質(zhì)量．

解答：解：設(shè)浮子原來重力為G，杠桿長為l．浮子減重后，重為G′，由傾斜變?yōu)樗�平，如圖所示，杠桿C端上升高度為EC=h₃-h₂=0.3m，活塞上升的高度△h即為OD的長度．
    
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，三角形BDO相似于三角形BEC，
所以：

DO

EC

=

BO

BC

=

BD

BE

因?yàn)锽O是杠桿總長

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3

，
所以：

DO

EC

=

BO

BC

=

BD

BE

=

1

3

，
因?yàn)镋C=0.3m，所以O(shè)D=0.1m，即活塞上升高度DO段長為△h=0.1m．        
（2）活塞減重前，杠桿平衡時(shí)，支點(diǎn)為B，
以浮子為研究對(duì)象，C端受到的合力為F_浮-G=（S₃h₃ρ_水g-G），該力的力臂BE，
O點(diǎn)受到的力為F_壓=ρ_水gS₂（h₁+△h），該力的力臂設(shè)為BD，
根據(jù)杠桿平衡條件可得：（F_浮-G）BE=F_壓BD，即：
（S₃h₃ρ_水g-G）BE=ρ_水gS₂（h₁+△h）BD，

BD

BE

=

1

3

，
即：3（S₃h₃ρ_水g-G）=ρ_水gS₂（h₁+△h），
代入數(shù)據(jù)得：3（0.8m²×1m×10³kg/m³×10N/kg-G）=10³kg/m³×10N/kg×0.24m²（3m+0.1m），
解得：G=5520N．
浮子減重后，杠桿平衡時(shí)，以杠桿為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析：

C端受到的合力為
F′_浮-G′=S₃h₂ρ_水g-G′，此力的力臂為BC，
O點(diǎn)受到的力為F?_壓=ρ_水gS₁h₁，此力的力臂為BO．
根據(jù)杠桿平衡有：（S₃h₂ρ_水g-G′）BC=ρ_水gS₁h₁ BO，
即為：3〔S₃h₂ρ_水g-G′〕=ρ_水gS₁h₁，
代入數(shù)據(jù)得：3（0.8m²×0.7m×10³kg/m³×10N/kg-G′）=10³kg/m³×10N/kg×0.1m²×3m．
解得：G′=4600N．
減去的浮子的重力：△G=G-G′=5520N-46OON=920N，
減去的浮子的質(zhì)量：△m=

△G

g

=

920N

10N/kg

=92kg．
答：（1）活塞應(yīng)上升的高度是0.1m；
（2）浮子應(yīng)減去質(zhì)量m′是92kg．

點(diǎn)評(píng)：以杠桿的平衡條件為橋梁，將浮子受到的重力，浮力以及水池內(nèi)水對(duì)活塞的壓力聯(lián)系起來，得到關(guān)于這幾個(gè)力的方程，然后利用阿基米德原理將浮子受到的浮力表示出來，利用液體壓強(qiáng)的特點(diǎn)和壓力的計(jì)算公式將水對(duì)活塞的壓力表示出來，即可求出浮子的重力．從而可以求得浮子減去的質(zhì)量．
對(duì)浮子和活塞進(jìn)行受力分析是解決此題的關(guān)鍵．