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2026年寒假作業(yè)九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版教育科學(xué)出版社
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1. 將方程 $3x^{2}=5x + 2$ 化為一元二次方程的一般形式：
$3x^{2}-5x - 2 = 0$
。
答案：$3x^{2}-5x - 2 = 0$
解析：
一元二次方程的一般形式為$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），將方程$3x^{2}=5x + 2$移項(xiàng)，把右邊的項(xiàng)移到左邊可得：$3x^{2}-5x - 2 = 0$。
2. 方程 $x^{2}+2x - 3 = 0$ 的解是
$x_1 = -3$，$x_2 = 1$
。
答案：$x_1 = -3$，$x_2 = 1$
解析：
$x^{2}+2x - 3 = 0$，因式分解得$(x + 3)(x - 1) = 0$，則$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
3. 方程 $x^{2}-3x = 0$ 的根為
$x_{1}=0$，$x_{2}=3$
。
答案：$x_{1}=0$，$x_{2}=3$（（按照題目要求橫線處填$0或3$（或$3或0$）等類似形式（題目要求為填空題）） ）。
解析：
將方程$x^{2}-3x = 0$左邊提取公因式$x$，得到$x(x - 3)=0$。根據(jù)“若兩個(gè)數(shù)的乘積為$0$，則至少其中一個(gè)數(shù)為$0$”，可得$x = 0$或$x - 3 = 0$，即$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。
4. 將代數(shù)式 $2x^{2}+3x + 5$ 配方得
$2(x + \frac{3}{4})^{2} + \frac{31}{8}$
。
答案：$2(x + \frac{3}{4})^{2} + \frac{31}{8}$。
解析：
首先，觀察代數(shù)式$2x^{2} + 3x + 5$，二次項(xiàng)系數(shù)為2，先將其提取出來(lái)，得到：
$2x^{2} + 3x + 5 = 2(x^{2} + \frac{3}{2}x) + 5$。
接下來(lái)，對(duì)括號(hào)內(nèi)的部分進(jìn)行配方。
為了配方，需要使$x^{2} + \frac{3}{2}x$成為一個(gè)完全平方的形式，即需要加上和減去$(\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}$，于是有：
$x^{2} + \frac{3}{2}x = x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}$。
這樣，前三項(xiàng)就構(gòu)成了完全平方，即：
$(x + \frac{3}{4})^{2} - \frac{9}{16}$。
將上述結(jié)果代入原式，得到：
$2x^{2} + 3x + 5 = 2(x + \frac{3}{4})^{2} - \frac{9}{8} + 5 = 2(x + \frac{3}{4})^{2} + \frac{31}{8}$。
5. 若關(guān)于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx + n = 0$ 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則符合條件的一組 $m$、$n$ 的實(shí)數(shù)值可以是 $m =$
2
，$n =$
1
。
答案：2，1
解析：
對(duì)于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，判別式$\Delta = m^2 - 4n$。因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以$\Delta \geq 0$，即$m^2 - 4n \geq 0$。取$m = 2$，則$2^2 - 4n \geq 0$，解得$n \leq 1$，取$n = 1$，此時(shí)$\Delta = 4 - 4 = 0$，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合條件。
6. 已知代數(shù)式 $7x(x + 5)+10$ 與代數(shù)式 $9x - 9$ 的值互為相反數(shù)，則 $x =$
$\frac{-22 + 3\sqrt{53}}{7}$或$\frac{-22 - 3\sqrt{53}}{7}$
。
答案：$\frac{-22 + 3\sqrt{53}}{7}$或$\frac{-22 - 3\sqrt{53}}{7}$
解析：
因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩數(shù)和為0，所以可得方程：$7x(x + 5)+10 + 9x - 9 = 0$，化簡(jiǎn)得$7x^2 + 35x + 10 + 9x - 9 = 0$，即$7x^2 + 44x + 1 = 0$。這里$a = 7$，$b = 44$，$c = 1$，判別式$\Delta = 44^2 - 4×7×1 = 1936 - 28 = 1908$，$\sqrt{1908} = \sqrt{4×477} = 2\sqrt{477} = 2\sqrt{9×53} = 6\sqrt{53}$，所以$x = \frac{-44 ± 6\sqrt{53}}{2×7} = \frac{-22 ± 3\sqrt{53}}{7}$。
7. 某地國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值 2020 年比 2000 年翻了兩番。在實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)過(guò)程中，以十年為單位計(jì)算，設(shè)每個(gè)十年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率都是 $x$，那么 $x$ 滿足的方程為(
B
)
A.$(1 + x)^{2}=2$
B.$(1 + x)^{2}=4$
C.$1 + 2x = 2$
D.$(1 + x)+2(1 + x)=4$
答案：B
解析：
設(shè)2000年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為$a$，則2020年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為$4a$（翻兩番即原值的4倍）。
每十年的增長(zhǎng)率為$x$，兩個(gè)十年后的總增長(zhǎng)關(guān)系為：$a(1 + x)^2 = 4a$。
兩邊同時(shí)除以$a$，得到方程：$(1 + x)^2 = 4$。
