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2025年學典四川八年級數(shù)學上冊北師大版
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1. 如圖,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,分別以$AB$,$BC$,$AC$為邊向外作正方形,若三個正方形的面積分別為$S$,$400$,$225$,則$S$的值為(
D
)
A.$25$
B.$175$
C.$600$
D.$625$
答案：D
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，由勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
因為以$AC$、$BC$、$AB$為邊的正方形面積分別為$225$、$400$、$S$，所以$AC^{2}=225$，$BC^{2}=400$，$AB^{2}=S$。
則$S=AC^{2}+BC^{2}=225 + 400=625$。
2. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,且$BC = 9$,$AB = 41$,則$AC = $(
B
)
A.$32$
B.$40$
C.$42$
D.$50$
答案：B
解析：
在直角三角形$ \triangle ABC $中，根據(jù)勾股定理，有$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $，
代入已知值$ AB = 41 $和$ BC = 9 $，得到：
$41^2 = AC^2 + 9^2 $，
$1681 = AC^2 + 81 $，
$AC^2 = 1681 - 81 $，
$AC^2 = 1600 $，
$AC = \sqrt{1600} $，
$AC = 40 $。
3. 如圖,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 2$,$BC = 4$,四邊形$ADEC$是正方形,則正方形$ADEC$的面積是(
C
)
A.$8$
B.$16$
C.$20$
D.$25$
答案：C
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle B=90^{\circ}$，$AB=2$，$BC=4$，根據(jù)勾股定理可得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=2^{2}+4^{2}=4 + 16=20$。
因為四邊形$ADEC$是正方形，正方形的面積等于邊長的平方，正方形$ADEC$的邊長為$AC$，所以正方形$ADEC$的面積$S = AC^{2}=20$。
4. 已知直角三角形的斜邊長為$10$,兩直角邊的比為$3:4$,則較短直角邊的長為(
C
)
A.$3$
B.$5$
C.$6$
D.$8$
答案：C
解析：
設較短的直角邊為 $3x$，則較長的直角邊為 $4x$。
根據(jù)勾股定理，可得：
$(3x)^2 + (4x)^2 = 10^2$，
$9x^2 + 16x^2 = 100$，
$25x^2 = 100$，
$x^2 = 4$，
$x = 2$（$x$取正值，因為邊長為正數(shù)）。
所以較短的直角邊為 $3x = 3 × 2 = 6$。
5. (1)已知直角三角形的斜邊長為$6.5\mathrm{cm}$,一直角邊長為$6\mathrm{cm}$,則另一條直角邊長為
$2.5$
$\mathrm{cm}$；
(2)在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB - BC = 1$,$AC = 7$,則$AB = $
$25$
。
答案：
(1) $2.5$；
(2) $25$。
解析：
(1) 根據(jù)勾股定理，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。設另一條直角邊長為 $x$，則有：
$6^2 + x^2 = 6.5^2$，
$36 + x^2 = 42.25$，
$x^2 = 6.25$，
$x = 2.5$（因為邊長不能為負，所以只取正值）。
(2) 設 $AB = x$，則 $BC = x - 1$。
根據(jù)勾股定理，有：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
$7^2 + (x - 1)^2 = x^2$，
$49 + x^2 - 2x + 1 = x^2$，
$50 - 2x = 0$，
$x = 25$。
6. 如圖,分別以直角三角形的三邊為直徑在三角形外部畫半圓,已知$S_{1} = 18\pi$,$S_{3} = 50\pi$,則$S_{2} = $
$32\pi$
。
答案：$32\pi$
解析：
設直角三角形三邊分別為$a$、$b$、$c$（$c$為斜邊），以$a$、$b$、$c$為直徑的半圓面積分別為$S_1$、$S_2$、$S_3$。
由半圓面積公式得：$S_1=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^2=\frac{\pi a^2}{8}$，同理$S_2=\frac{\pi b^2}{8}$，$S_3=\frac{\pi c^2}{8}$。
根據(jù)勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，兩邊乘$\frac{\pi}{8}$得$\frac{\pi a^2}{8}+\frac{\pi b^2}{8}=\frac{\pi c^2}{8}$，即$S_1 + S_2 = S_3$。
已知$S_1=18\pi$，$S_3=50\pi$，則$S_2 = S_3 - S_1 = 50\pi - 18\pi = 32\pi$。
7. 如圖,在四邊形$ABCD$中,$\angle D = \angle ACB = 90^{\circ}$,$CD = 12$,$AD = 16$,$BC = 15$,求$AB$的長。
答案：在$Rt \bigtriangleup ADC$中，
$\because \angle D=90^{\circ}$，$CD=12$，$AD=16$，
$\therefore AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{16^{2}+12^{2}} = 20$，
在$Rt \bigtriangleup ACB$中，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$BC=15$，$AC = 20$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}} = 25$。
故$AB$的長為$25$。
8. 如圖,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 17$,$BC = 16$。求$BC邊上的中線AD的長及\triangle ABC$的面積。
答案：
∵AB = AC = 17，BC = 16，AD是BC邊上的中線，
$BD=CD=\frac{1}{2}BC = 8$，AD⊥BC，
在$Rt \bigtriangleup ABD$中，
$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{17^{2} - 8^{2}} = 15$；
$S_{\bigtriangleup ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AD = \frac{1}{2} × 16 × 15 = 120$。
答：BC邊上的中線AD的長為15，$\triangle ABC$的面積為120。
