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2025年云南本土名校金卷九年級數(shù)學(xué)全一冊人教版
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1. 下列方程是一元二次方程的是 (
D
)
A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 - y + 1 = 0$
C.$x^2 - \frac{1}{x} - 2 = 0$
D.$(x - 1)(x + 2) = 1 - x$
答案：D
解析：
一元二次方程的一般形式是$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），且只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是$2$，是整式方程。
選項(xiàng)A：當(dāng)$a = 0$時(shí)，方程$ax^{2}+bx + c = 0$不是一元二次方程，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤。
選項(xiàng)B：方程$x^{2}-y + 1 = 0$含有兩個(gè)未知數(shù)$x$和$y$，不是一元二次方程，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤。
選項(xiàng)C：方程$x^{2}-\frac{1}{x}-2 = 0$中$\frac{1}{x}$是分式，不是整式方程，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤。
選項(xiàng)D：將$(x - 1)(x + 2)=1 - x$展開得$x^{2}+2x-x - 2=1 - x$，整理得$x^{2}+2x-3 = 0$，符合一元二次方程的定義，所以該選項(xiàng)正確。
2. 將一元二次方程$(x - 2)(x + 3) = 12$化為一般形式$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0,a,b,c$為常數(shù))，其中$a$的值是 (
D
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：D
解析：
首先將方程左邊展開：
$(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$。
原方程變?yōu)椋?
$x^2 + x - 6 = 12$。
將方程右邊移到左邊：
$x^2 + x - 6 - 12 = 0$，
即$x^2 + x - 18 = 0$。
其中$a = 1$。
3. 如圖是小南用配方法解一元二次方程的具體過程，老師說這個(gè)解法出現(xiàn)了錯(cuò)誤，則開始錯(cuò)誤的步驟是 (
A
)
A.②
B.③
C.④
D.⑤
答案：A
解析：
用配方法解一元二次方程$x^{2}-4x=1$，
在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即$(-4÷2)^{2}=4$，
得到$x^{2}-4x + 4 = 1+4$，而原步驟②中右邊沒有加$4$，所以開始錯(cuò)誤的步驟是②。
4. 下列方程，有實(shí)數(shù)根的是 (
C
)
A.$n^2 + 4 = 0$
B.$m^2 + m + 3 = 0$
C.$2x^2 - \sqrt{3}x - 1 = 0$
D.$5y^2 + 1 = 2y$
答案：C
解析：
A. 對于方程 $n^{2} + 4 = 0$，
移項(xiàng)得：$n^{2} = - 4$，
由于一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不可能為負(fù)數(shù)，所以該方程沒有實(shí)數(shù)根。
B. 對于方程 $m^{2} + m + 3 = 0$，
其判別式為：$\Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11 ＜ 0$，
因?yàn)榕袆e式小于0，所以該方程沒有實(shí)數(shù)根。
C. 對于方程 $2x^{2} - \sqrt{3}x - 1 = 0$，
其判別式為：$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - \sqrt{3})^{2} - 4(2)( - 1) = 3 + 8 = 11 ＞ 0$，
因?yàn)榕袆e式大于0，所以該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
D. 對于方程 $5y^{2} + 1 = 2y$，
移項(xiàng)得：$5y^{2} - 2y + 1 = 0$，
其判別式為：$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 2)^{2} - 4(5)(1) = 4 - 20 = - 16 ＜ 0$，
因?yàn)榕袆e式小于0，所以該方程沒有實(shí)數(shù)根。
綜上所述，只有選項(xiàng)C的方程有實(shí)數(shù)根。
5. 已知一元二次方程$x^2 - 6x + c = 0$有一個(gè)根為$2$，則$c$的值為 (
B
)
A.7
B.8
C.-3
D.2
答案：B
解析：
因?yàn)橐辉畏匠?x^2 - 6x + c = 0$有一個(gè)根為$2$，將$x = 2$代入方程得$2^2 - 6×2 + c = 0$，即$4 - 12 + c = 0$，解得$c = 8$。
6. 若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 + 9x + 20 = 0$的兩個(gè)根，則$x_1 - x_2$的值為 (
A
)
A.1或 -1
B.-9
C.-1
D.9
答案：A
解析：
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，對于方程$x^2 + 9x + 20 = 0$，其中$a = 1$，$b = 9$，$c = 20$，兩根之和$x_1 + x_2 = -\frac{a}=-9$，兩根之積$x_1x_2=\frac{c}{a}=20$。
由$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，把$x_1 + x_2 = - 9$，$x_1x_2 = 20$代入可得：$(x_1 - x_2)^2=(-9)^2 - 4×20=81 - 80 = 1$。
所以$x_1 - x_2=\pm1$。
