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2025年綠卡創(chuàng)新學情分析九年級數學全一冊人教版
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1.(文山校級階段練習)下列方程是關于$x$的一元二次方程的是 (
D
)
A.$ax^{2}+bx+c=0$
B.$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}=2$
C.$x^{2}+2x=x^{2}-1$
D.$3(x + 1)^{2}=2(x + 1)$
答案：D
解析：
A選項：未說明$a \neq 0$，若$a=0$，則方程退化為一次方程，故錯誤；
B選項：含有$\frac{1}{x^2}$和$\frac{1}{x}$，不滿足整式方程要求，故錯誤；
C選項：化簡后為$2x + 1 = 0（或（誤，原題化簡應為） 2x = -1$（實際將等式兩邊消x2后得$2x = -1$），為一次方程，故錯誤；
D選項：展開后為$3x^2 + 6x + 3 = 2x + 2$，整理為$3x^2 + 4x + 1 = 0$，滿足一元二次方程定義，故正確。
2.(昆明官渡期中)把方程$2x(x - 1)=3x$化成一元二次方程的一般形式,則二次項系數、一次項系數、常數項分別是 (
B
)
A.$2,1,0$
B.$2,-5,0$
C.$2,-3,-1$
D.$2,5,0$
答案：B
解析：
首先將方程 $2x(x - 1) = 3x$ 展開，得到：
$2x^2 - 2x = 3x$，
移項得到一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 2x - 3x = 0$，
$2x^2 - 5x = 0$，
從這個一般形式中，可以直接讀出二次項系數為 2，一次項系數為 -5，常數項為 0。
3.(臨滄耿馬期中)若關于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + m = 1$的一個根為$1$,則$m$的值為 (
D
)
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案：D
解析：
將$x=1$代入方程$x^{2}-2x + m = 1$，得$1^{2}-2×1 + m = 1$，即$1 - 2 + m = 1$，解得$m = 2$。
4.將下列一元二次方程化成一般形式后,其中二次項系數是$2$,一次項系數是$-5$,常數項是$-1$的方程是 (
C
)
A.$2x^{2}+1 = 5x$
B.$2x^{2}+5x = 1$
C.$2x^{2}-1 = 5x$
D.$2x^{2}-5x = -1$
答案：C
解析：
一元二次方程一般形式為$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其中$a$為二次項系數，$b$為一次項系數，$c$為常數項。
選項A：$2x^2 + 1 = 5x$化為一般形式為$2x^2 - 5x + 1 = 0$，二次項系數$2$，一次項系數$-5$，常數項$1$，不符合。
選項B：$2x^2 + 5x = 1$化為一般形式為$2x^2 + 5x - 1 = 0$，二次項系數$2$，一次項系數$5$，常數項$-1$，不符合。
選項C：$2x^2 - 1 = 5x$化為一般形式為$2x^2 - 5x - 1 = 0$，二次項系數$2$，一次項系數$-5$，常數項$-1$，符合。
選項D：$2x^2 - 5x = -1$化為一般形式為$2x^2 - 5x + 1 = 0$，二次項系數$2$，一次項系數$-5$，常數項$1$，不符合。
5.已知$x = 1$是一元二次方程$x^{2}+mx + n = 0$的一個根,則$m^{2}+2mn + n^{2}$的值為 (
B
)
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$4$
答案：B
解析：
因為$x = 1$是方程$x^{2}+mx + n = 0$的根，所以將$x = 1$代入方程得$1 + m + n = 0$，即$m + n=-1$。$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}=(-1)^{2}=1$。
6.(昆明第十二中學期中)用配方法解方程$x^{2}-6x = 3$,原方程可變形為 (
A
)
A.$(x - 3)^{2}=12$
B.$(x + 3)^{2}=12$
C.$(x + 3)^{2}=8$
D.$(x - 3)^{2}=8$
答案：A
解析：
原方程為 $x^2 - 6x = 3$，
配方時，需將方程左邊變?yōu)橥耆椒叫问剑?br>對 $x^2 - 6x$ 配方，加上一次項系數一半的平方，即 $(-6 ÷ 2)^2 = 9$，
方程兩邊同時加9得：
$x^2 - 6x + 9 = 3 + 9$，
即 $(x - 3)^2 = 12$。
7.(昆明西山期中)若關于$x$的一元二次方程$kx^{2}-2x - 1 = 0$有兩個不相等的實數根,則$k$的取值范圍是 (
B
)
A.$k ＞ -1$
B.$k ＞ -1$且$k\neq0$
C.$k ＜ 1$
D.$k ＜ 1$且$k\neq0$
答案：B
解析：
關于$x$的一元二次方程$kx^{2}-2x - 1 = 0$有兩個不相等的實數根，需滿足：
1. 二次項系數$k \neq 0$；
2. 判別式$\Delta = b^{2}-4ac ＞ 0$，即$(-2)^{2}-4 · k · (-1) ＞ 0 \Rightarrow 4 + 4k ＞ 0 \Rightarrow k ＞ -1$。
綜合得$k ＞ -1$且$k \neq 0$。
8.如果方程$(m - 1)x^{m^{2}-2}-x + 5 = 0$是關于$x$的一元二次方程,那么$m$的值為 (
A
)
A.$\pm2$
B.$2$
C.$-2$
D.都不對
答案：A
解析：
因為方程是一元二次方程，所以未知數最高次數為2且二次項系數不為0。即$m^2 - 2 = 2$且$m - 1 \neq 0$。由$m^2 - 2 = 2$得$m^2 = 4$，$m = \pm 2$。又$m - 1 \neq 0$，所以$m \neq 1$，故$m = \pm 2$。
9.若關于$x$的方程$x^{2}+3x + a = 0$有一個根為$1$,則另一個根為 (
A
)
A.$-4$
B.$2$
C.$4$
D.$-3$
答案：A
解析：
設方程的另一個根為$x_1$，根據韋達定理，兩根之和為$-3$，即$1 + x_1 = -3$，解得$x_1 = -4$。
10.若關于$x$的方程$x^{2}+2x + k = 0$有兩個相等的實數根,則$k$滿足 (
C
)
A.$k ＞ 1$
B.$k\geq1$
C.$k = 1$
D.$k ＜ 1$
答案：C
解析：
對于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，判別式$\Delta = b^2 - 4ac$。當$\Delta = 0$時，方程有兩個相等的實數根。在方程$x^2 + 2x + k = 0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c = k$，所以$\Delta = 2^2 - 4×1×k = 4 - 4k$。因為方程有兩個相等的實數根，所以$\Delta = 0$，即$4 - 4k = 0$，解得$k = 1$。
