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設數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項的和為Sn，滿足a1=1，
Sn+1
an+1
-
Sn
an
=
1
2n
（n∈N*）．
（1）求證：Sn=（2-
1
2n-1
）an；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式．
（1）證明：數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項的和為Sn，滿足a1=1，
Sn+1
an+1
-
Sn
an
=
1
2n
（n∈N*）．
所以
S2
a2
-
S1
a1
 =
1
2
，
 
S3
a3
-
S2
a2
=
1
4
；
S4
a4
-
S3
a3
=
1
8
；
…
Sn
an
-
Sn-1
an-1
=
1
2n-1
；
將n-1個式子相加可得：
Sn
an
-
S1
a1
=
1
2
+
1
22
+ 
1
23
+…+
1
2n-1
，
所以
Sn
an
=1+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1
=
1-
1
2n-1
1-
1
2
=2-
1
2n-1
；
∴Sn=（2-
1
2n-1
）an；
（2）因為Sn=（2-
1
2n-1
）an；
所以Sn-1=（2-
1
2n-2
）an-1；（n≥2）
所以an=（2-
1
2n-1
）an-（2-
1
2n-2
）an-1；可得
1
2
an =an-1，
因為a2=2，當n=1時，滿足數(shù)列{an}是等比數(shù)列公比為2．
所以an=2n-1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an} 前n項和Sn=
n(an+1)2
，n∈N*且a2=a，
（1）求數(shù)列{an} 的通項公式an．
（2）若a=3，Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n-1anan+1，求T100的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3，g （x）=x+
x
．
（Ⅰ）求函數(shù)h （x）=f（x）-g （x）的零點個數(shù)．并說明理由；
（Ⅱ）設數(shù)列{ an}（n∈N*）滿足a1=a（a＞0），f（an+1）=g（an），證明：存在常數(shù)M，使得對于任意的n∈N*，都有an≤M．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}前n項和Sn，且Sn=2an-2，n∈N+．
（Ⅰ）試求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=
nan
，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}前n項和為Sn，首項為x（x∈R），滿足Sn=nan-
n(n-1)2
，n∈N+．
（1）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
（2）求證：若數(shù)列{an}中存在三項構成等比數(shù)列，則x為有理數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}前n項和Sn=Aqn+B，則A+B=0是使{an}成為公比不等于1的等比數(shù)列的（　�。�

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