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6．已知m和n是兩個(gè)正整數(shù)，m除以n的余數(shù)為r．
（1）求證“K是m和n的公約數(shù)”的充要條件是“K是n和r的公約數(shù)”；
（2）求2072與1064的公約數(shù)．

分析 （1）已知m=np+r，若K是m和n的公約數(shù)，由r=m-np，則k必然是r的公約數(shù)，可得K是n和r的公約數(shù)．反之亦然．
（2）利用“輾轉(zhuǎn)相除法”即可得出；

解答 （1）證明：已知m=np+r，
若K是m和n的公約數(shù)，由r=m-np，則k必然是r的公約數(shù)，∴K是n和r的公約數(shù)．
反之：若K是n和r的公約數(shù)，由m=np+r，則K必然是m的公約數(shù)，因此K是m和n的公約數(shù)．
綜上可得：“K是m和n的公約數(shù)”的充要條件是“K是n和r的公約數(shù)”．
（2）解：2072=1064×1+1008，1064=1008×1+56，1008=56×18，
∴2072與1064的最大公約數(shù)是56．

點(diǎn)評 本題考查了整除理論、充要條件、“輾轉(zhuǎn)相除法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．某工廠統(tǒng)計(jì)資料顯示，該廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量x（千克）（x∈N，且11≤x≤100）的關(guān)系如表，
x11121314…99100
p$\frac{2}{97}$ $\frac{1}{48}$ $\frac{2}{95}$ $\frac{1}{47}$  …$\frac{1}{9}$ $\frac{1}{4}$ 
且已知每生產(chǎn)1千克正品盈利a元，每生產(chǎn)1千克次品損失$\frac{a}{2}$元（a＞0）．
（1）寫出生產(chǎn)該產(chǎn)品的日盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；
（2）為了獲得最大盈利，該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少千克？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問題日益突出．本市某居民小區(qū)為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫，建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫的入口和進(jìn)入后的直角轉(zhuǎn)彎處的平面設(shè)計(jì)示意圖．
（1）按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)�，為�?biāo)明限高，請你根據(jù)該圖1示數(shù)據(jù)計(jì)算限定高度CD的值．（精確到0.1m）
（下列數(shù)據(jù)提供參考：sin20°=0.3420，cos20°=0.9397，tan20°=0.3640）
（2）在車庫內(nèi)有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖2示，設(shè)∠PAB=θ（rad），車道寬為3米，現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動靈活的小汽車，其水平截面圖為矩形，它的寬為1.8米，長為4.5米，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．如圖，其中有一個(gè)是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x3+ax2+（a2-1）x+1（a∈R，a≠0）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象，則f（-1）為（　　）
A．2B．-$\frac{1}{3}$C．3D．-$\frac{1}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．如圖，已知$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，試用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$和$\overrightarrow{OD}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．化簡下列各式：
（1）2$\sqrt{3}$×$\root{3}{1.5}×\root{6}{12}$；
（2）$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{4^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+{a}^{\frac{2}{3}}}$$÷（1-2\root{3}{\frac{a}}）×\root{3}{a}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．化簡$\sqrt{2-2sinθ-co{s}^{2}θ}$的結(jié)果為1-sinθ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．求當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程$\frac{4k-3x}{k+2}$=2x的解為：
（1）正數(shù)；
（2）負(fù)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．已知函數(shù)f（x）=x2+ax+3．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）在[1，+∞]內(nèi)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

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同步練習(xí)冊答案