精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

如圖，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為雙曲線E的兩焦點，以F₁F₂為直徑的圓O與雙曲線E交于M、N、M₁、N₁，B是圓O與y軸的交點，連接MM₁與OB交于H，且H是OB的中點．
（1）當(dāng)c=1時，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對任意的正實數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)．

（1）解：∵c=1，
∴B（0，1） $\text{[math]}$ ，
設(shè)E： $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0），
∵M在E上，則
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴雙曲線E的方程為：2x²-2y²=1…7分
（2）證明： $\text{[math]}$
設(shè)E： $\text{[math]}$ +4=1，
解得e²=2或e²= $\text{[math]}$ （舍），
∴e= $\text{[math]}$ 為常數(shù)． 7分．
分析：（1）由c=1，知B（0，1） $\text{[math]}$ ，由M在E上，知 $\text{[math]}$ ，由此能求出雙曲線E的方程．
（2）由 $\text{[math]}$ ，知3e⁴-8e²+4=1，由此能證明e為常數(shù)．
點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是雙曲線C：

=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過點F₁作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點P，過點F₂作直線PF₂的垂線交直線l：x=

于點Q，若點Q的坐標(biāo)為（1，-4）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為雙曲線E的兩焦點，以F₁F₂為直徑的圓O與雙曲線E交于M、N、M₁、N₁，B是圓O與y軸的交點，連接MM₁與OB交于H，且H是OB的中點．
（1）當(dāng)c=1時，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對任意的正實數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題