Question

已知函數f(x)=2+.數列{a_n}中，a₁=a,a_n+1=f(a_n)(n∈N^*).當a取不同的值時，得到不同的數列{a_n}，如當a=1時，得到無窮數列1,3,,,…;當a=-時，得到有窮數列-,

(Ⅰ)求a的值，使得a₃=0;

(Ⅱ)設數列{b_n}滿足b₁=-,b_n=f(b_n+1)(n∈N^*),求證：不論a取{b_n}中的任何數，都可以得到一個有窮數列{a_n}.

Answer 1

解：（Ⅰ）a₁=a,a₂=f(a)=2+=,a₃=f(2)=2+=2+=0,

    解得：a=-.

（Ⅱ）分析：要證明：不論a取{b_n}中的任何數，都可以得到一個有窮數列{a_n},只需證明當a取{b_n}中的任意數bk時，由公式a_n+1=f(a_n)可得到值為0的項.

證明：設a_n=b_k,k∈N^*，則a₂=f(a₁)=f(b_k)=b_k-1,

    同理a₃=b_k-2,a₄=b_k-3.

…a_k=b₁=-,∴a_k+1=0.

    數列{a_n}只有k+1項，故為有窮數列.命題得證.