Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=

22x+a

2x

（其中a為非零實(shí)數(shù)），給出以下命題：
①當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在定義域上為單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象的關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；
③對(duì)于任意的a∈R⁺，函數(shù)f（x）均能取到最小值為2

a

；
④對(duì)于任意的a∈R⁺，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
⑤當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)于滿足0＜x₁＜x₂＜1的所有x₁，x₂，總有f（x₂）-f（x₁）＜

3

2

ln2(x2-x1)．
其中所有正確命題的序號(hào)為（　�。�

• A、①②③
• B、③④⑤
• C、②③
• D、②③⑤

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)于①，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性加以判斷；
對(duì)于②，取a=-1后，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，從而得到命題正確；
對(duì)于③，直接由①中得到的函數(shù)的單調(diào)性求得最小值，說明命題正確；
對(duì)于④，直接由函數(shù)奇偶性的定義說明真假；
對(duì)于⑤，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的增減性，由割線的斜率小于函數(shù)在x=1處的切線的斜率說明命題正確．

解答： 解：對(duì)于①，令t=2^x，f（t）=t+

a

t

，
外層函數(shù)f（t）=t+

a

t

在（0，

a

]單調(diào)遞減，在[

a

，+∞）單調(diào)遞增，內(nèi)層函數(shù)t=2^x為增函數(shù)，
∴①不正確；
對(duì)于②，當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=2x-

1

2x

．
∵f（-x）=2^-x-

1

2-x

=

1

2x

-2^x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴②正確；
對(duì)于③，由①知：當(dāng)t=

a

時(shí)，f（x）最小，最小值是2

a

，
由2^x=

a

⇒x=

log

a 2

=

1

2

log

a 2

，
∴③正確；
對(duì)于④，∵當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=2x+

3

2x

，
f(-x)=2-x+

3

2-x

=3•2x+

1

2x

≠2x+

3

2x

=f（x），函數(shù)不是偶函數(shù)，
∴④不正確；
對(duì)于⑤，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2^x+

1

2x

，
∵f′（x）=(2x-

1

2x

)ln2為增函數(shù)，
∴對(duì)于滿足0＜x₁＜x₂＜1的所有x₁，x₂，
總有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜f′(x)max＜f′(1)=

3

2

ln2．
即f（x₂）-f（x₁）＜

3

2

ln2(x2-x1)．
∴⑤正確．
綜上，正確命題的序號(hào)是②③⑤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，是中檔題．