Question

9．不等式2x²-a$\sqrt{{x}^{2}+1}$+3＞0對x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，23）．

Answer 1

分析 需要分類討論，當a≤0時對x∈R恒成立，當a＞0時，巧設換元，分離參數(shù)，得到a+1＜4t+$\frac{9}{t}$+12，根據(jù)基本不等式即可求出a的范圍

解答 解：∵2x²-a$\sqrt{{x}^{2}+1}$+3＞0對x∈R恒成立，
∴2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
當a≤0時，顯然恒成立，
當a＞0時，2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，可化為（2x²+3）²＞ax²+a，
即為4x⁴+（12-a）x²+9-a＞0恒成立
設x²=t，
即為4t²+（12-a）t+9-a＞0對于t≥0恒成立，即（1+a）t＜4t²+12t+9
當t=0時，9-a＞0，即0＜a＜9，
當t＞0
∴a+1＜4t+$\frac{9}{t}$+12≥2$\sqrt{4t•\frac{9}{t}}$+12=24在（0，+∞）恒成立，當且僅當t=$\frac{3}{2}$時取等號，
∴0＜a＜23，
綜上所述a的取值范圍（-∞，23），
故答案為：（-∞，23）

點評 本題考查一元二次不等式的應用，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是更換主元，利用基本不等式求出最值，此題是中檔題．