Question

【題目】已知奇函數(shù)的定義域為，其中為指數(shù)函數(shù)且過點．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明．

（3）若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；（2）在上單調(diào)遞減，見解析；（3）

【解析】

（1）為指數(shù)函數(shù)且過點，可以利用待定系數(shù)法求出的表達式，代入到中，還有一個參數(shù)，題中還有一個條件：定義域為上的奇函數(shù)，又得出一個相應的等量關系.

（2）用定義法去證明函數(shù)的單調(diào)性問題，可以“程序化”

1.取值； 2.作差（也有作商）；3比較大小（作差和0比較，作商和1做對比）；4下結論.

（3）由（2）已經(jīng)判斷函數(shù)是單調(diào)的奇函數(shù)，可以轉化為：這樣就能轉化為相應不等式，進而完成本題.

（1）設，由的圖象過點，

可得，∴，．故函數(shù)．

再根據(jù)為奇函數(shù)，可得，

∴，即.

（2）∵．

設，則，由于，

結合，可得，

∴，即，故在上單調(diào)遞減．

（3）且為奇函數(shù)，所以

又在上單調(diào)遞減，所以對恒成立，

所以對對恒成立，令

所以，所以