Question

有一圓與直線l：4x-3y+6=0相切于點(diǎn)A（3，6），且經(jīng)過點(diǎn)B（5，2），求此圓的方程．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²．由切線的性質(zhì)得到直線l垂直于過切點(diǎn)的半徑，建立關(guān)于a、b的關(guān)系式，結(jié)合A、B兩點(diǎn)在圓上建立關(guān)于a、b、r的方程組，解出a、b、r的值即可得到所求圓的方程．

解答：解：設(shè)圓的圓心為C（a，b），半徑為r，則圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²．
∵直線l：4x-3y+6=0相切于點(diǎn)A（3，6），∴點(diǎn)A（3，6）在圓上，且AC⊥l，
可得（3-a）²+（6-b）²=r²，…①
由直線l的斜率為

4

3

，可得

b-6

a-3

•

4

3

=-1…②
又∵點(diǎn)B（5，2）在圓上，可得（5-a）²+（2-b）²=r²，…③
∴聯(lián)解①②③，可得a=5、b=

9

2

、r=

5

2

．
因此所求圓的方程為（x-5）²+（y-

9

2

）²=

25

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓的切線方程，在已知圓經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)的情況下求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．