Question

5．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{2π}{3}$		$\frac{8π}{3}$
Asin（ωx+φ）	0	3		-3	0

（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平行移動θ（θ＞0）個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象．若y=g（x）圖象的一個對稱中心為（$\frac{5π}{12}$，0），求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件求出A，ω和φ的值即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（Ⅰ）及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得$g（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}θ+\frac{π}{6}）$，令$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}θ+\frac{π}{6}=kπ$，解得$x=2kπ-θ-\frac{π}{3}$，k∈Z，由題意$2kπ-θ-\frac{π}{3}=\frac{5π}{12}$，解得θ的值．

解答 解：（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得$A=3，ω=\frac{1}{2}，φ=\frac{π}{6}$．?dāng)?shù)據(jù)補全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11}{3}π$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

且函數(shù)表達式為$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$．
（2）由（Ⅰ）知$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$，得$g（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}θ+\frac{π}{6}）$．
因為y=sinx的對稱中心為（kπ，0），k∈Z．
令$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}θ+\frac{π}{6}=kπ$，解得$x=2kπ-θ-\frac{π}{3}$，k∈Z．
由于函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點$（\frac{5π}{12}，0）$成中心對稱，令$2kπ-θ-\frac{π}{3}=\frac{5π}{12}$，
解得$θ=2kπ-\frac{3π}{4}$，k∈Z．由θ＞0可知，當(dāng)k=1時，θ取得最小值$\frac{5π}{4}$．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．