Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若在上存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在處取得極小值1，無極大值；（2）見解析；（3）或．

【解析】

（1），，解即可得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到極值的情況；

（2），分類討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況即可得單調(diào)性；

（3）將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的最小值小于零，結(jié)合（2）討論的單調(diào)性分類討論即可．

（1）若，，

，

得，得，

所以在遞減，在遞增，

所以在處取得極小值1，無極大值；

（2）

的正負(fù)情況與的正負(fù)情況一致，

當(dāng)時(shí)，得，得，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增．

（3）在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零．

由（2）可知：

①，即時(shí)，在上單調(diào)遞減；所以的最小值為，由可得，因?yàn)?/span>，所以；

②，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，由可得；

③當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，因?yàn)?/span>，所以，，故，此時(shí)，不成立，

綜上討論可得所求的范圍是：或．