Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，短軸長為 ，過右焦點F的直線l與C相交于A，B兩點．O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P在橢圓C上，且 = + ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2b=2 ．得b= ，

即有 = ，a2﹣c2=2，

所以 ，

則橢圓方程為

（2）解：橢圓C的方程為2x2+3y2=6．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

（�。┊攍不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y=k（x﹣1）．

C上的點P使 = + 成立的充要條件是P點坐標為（x1+x2，y1+y2），

且2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6，

整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6，

又A、B在橢圓C上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，

故2x1x2+3y1y2+3=0．①

將y=k（x﹣1）代入2x2+3y2=6，并化簡得

（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，

于是x1+x2= ，x1x2= ，

y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）= ．

代入①解得k2=2，

因此，當k=﹣ 時，l的方程為 x+y﹣ =0；

當k= 時，l的方程為 x﹣y﹣ =0．

（ⅱ）當l垂直于x軸時，由 + =（2，0）知，

C上不存在點P使 = + 成立．

綜上，l的方程為 x±y﹣ =0

【解析】（1）由題意可得b= ，運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（�。┊攍不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓方程，運用韋達定理和向量的坐標表示，解方程可得k；（ⅱ）當l垂直于x軸時，由向量的加法運算，即可判斷．