Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=，BC=AA1=2，O，M分別為BC，AA1的中點(diǎn).

（1）求證：OM∥平面CB1A1；

（2）求點(diǎn)M到平面CB1A1的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接BC1，交CB1于點(diǎn)N，則N為CB1的中點(diǎn)，連接ON，可得ON∥BB1，再結(jié)合ON=MA1，可得四邊形ONA1M為平行四邊形，則有OM∥NA1，再由線面平行的判定可證得OM∥平面CB1A1；

（2）由OM∥平面CB1A1，可知點(diǎn)M到平面CB1A1的距離等于點(diǎn)O到平面CB1A1的距離，然后利用等積法可求解.

（1）如圖，連接BC1，交CB1于點(diǎn)N，連接A1N，ON.

則N為CB1的中點(diǎn)，

又∵O為BC的中點(diǎn)，

∴ON∥BB1，且ON=BB1，

又∵M為AA1的中點(diǎn)，

∴MA1∥BB1，且MA1=BB1，

∴ON∥MA1且ON=MA1，

∴四邊形ONA1M為平行四邊形，

∴OM∥NA1，

又∵NA1平面CB1A1，OM平面CB1A1，

∴OM∥平面CB1A1.

（2）如圖，連接AO，OB1，AB1.

∵AB=AC，O為BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，

又∵直三棱柱ABCA1B1C1中，平面CBB1C1⊥平面ABC，

∴AO⊥平面CBB1C1.

由（1）可知OM∥平面CB1A1，

∴點(diǎn)M到平面CB1A1的距離等于點(diǎn)O到平面CB1A1的距離，設(shè)其為d，

在直三棱柱ABCA1B1C1中，由AB=AC=，BC=AA1=2可得，AO=1，A1B1=，A1C=，B1C=，

∴△CB1A1是直角三角形，且.

由得，

故d=.即點(diǎn)M到平面CB1A1的距離為.