Question

直角梯形ABCD，BC∥AD，BC=BA=

1

2

AD=m，AD⊥AB，VA⊥面ABCD
（1） 求證：VC⊥CD；
（2） 若 VA=

2

m，求VC與面VAD所成的角．

Answer 1

分析：（1）由題意先建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，進而得到所求證的兩線的法向向量垂直；
（2）由題意利用空間向量的知識求出線面角是利用其直線的方向向量與平面的法向量之間的關系求出結果．

解答：證明：以A為坐標原點，建立如圖直角坐標系
則A（0，0，0），D（0，2m，0），C（m，m，0），
（1）設V（0，0，n），則

VC

=(m，m，-n)

DC

=(m，-m，0)
∵

VC

•

DC

=m2-m2+0=0
∴VC⊥DC
（2）解：若VA=

2

m即

VC

=(m，m，-

2

m)
又面VAD的法向量為

n

=(1，0，0)
cos＜

VC

，

n

＞=

VC • n

| VC || n |

=

m

1×2m

=

1

2

∴＜

VC

，

n

＞=600
故VC與面VAD所成角為30⁰

點評：（1）此問重點考查了利用空間向量證明線線垂直，及學生要準確得證需準確寫出個點的空間坐標；
（2）此問重點考查了利用空間向量求解線面角的值，還考查了直線的方向向量與平面的法向量之間成角與線米昂角之間的關系．