Question

14．已知點(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)C：y²=2px上，過(guò)點(diǎn)A作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D、E，直線(xiàn)AD，AE的斜率分別為k_AD，k_AE．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）若直線(xiàn)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-2），求K_AD•K_AE的值．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)C：y²=2px上，代入計(jì)算求出p，可得拋物線(xiàn)C的方程；
（2）通過(guò)利用直線(xiàn)DE與拋物線(xiàn)C方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)C：y²=2px上，
∴4=2p，∴p=2，
∴y²=4x；
（2）設(shè)直線(xiàn)DE方程為：y+2=k（x+1），
聯(lián)立，消去x、整理得：ky²-4y+4k-8=0，
由題意及韋達(dá)定理可得：y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=$\frac{4k-8}{k}$，
∴x₁+x₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+4-2k}{k}$=$\frac{4+4k-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4-4k+{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
∴k_AD•k_AE=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}•\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查韋達(dá)定理，屬于中檔題．