Question

15．設(shè)a′、b′為整數(shù)，把形如a′+b′$\sqrt{5}$的一切數(shù)構(gòu)成的集合記為M，設(shè)x∈M，y∈M，試判斷x+y，x-y，xy是否屬于M，并說明理由．

Answer 1

分析 不妨設(shè)x=a₁+b₁$\sqrt{5}$，y=a₂+b₂$\sqrt{5}$，（a₁，b₁，a₂，b₂為整數(shù)），從而可得x+y=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{5}$∈M，x-y=（a₁-a₂）+（b₁-b₂）$\sqrt{5}$∈M，xy=（a₁a₂+5b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{5}$∈M．

解答 解：∵x∈M，y∈M，
∴不妨設(shè)x=a₁+b₁$\sqrt{5}$，y=a₂+b₂$\sqrt{5}$，（a₁，b₁，a₂，b₂為整數(shù)），
∴x+y=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{5}$，
又∵a₁+a₂，b₁+b₂為整數(shù)，
∴x+y∈M，
同理，x-y=（a₁-a₂）+（b₁-b₂）$\sqrt{5}$∈M，
xy=（a₁a₂+5b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{5}$∈M．

點(diǎn)評 本題考查了元素與集合的關(guān)系的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．