Question

13、已知0≤x＜2π，a為實常數(shù)，求函數(shù)f（x）=cos²x+2asinx-1的最大值．

Answer 1

分析：因為cos²x=1-sin²x，用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，按照對稱軸在區(qū)間的左面、在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間的右面三種情況討論．

解答：解：f（x）=cos²x+2asinx-1=-sin²x+2asinx
令t=sinx，因為0≤x＜2π，所以-1≤t≤1且y=-t²+2at，其對稱軸為t=a，
故a≤-1時，y=-t²+2at在[-1，1]上是減函數(shù)，最大值為-1-2a，
當-1＜a＜1時，當t=a時y有最大值a²，
當a≥1時，y=-t²+2at在[-1，1]上是增函數(shù)，最大值為-1+2a

點評：本題考查三角函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，分類討論思想和換元轉(zhuǎn)換思想．