Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，判斷在的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍；

（3）討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）減函數(shù),證明詳見解析; （2）;（3）詳見解析

【解析】

試題（1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷在的單調(diào)性，并用定義證明．

（2）利用參數(shù)分離法將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，求出的最大值即可；

（3）將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解.

試題解析：（1）當(dāng)，且時(shí)，為減函數(shù).

證明：設(shè)，則 ,又，所以，，所以,所以，所以，故當(dāng)，且時(shí)，為減函數(shù).

（2）由得，變形為,即,而，當(dāng)，即時(shí)，,所以.

（3）由可得，變形為，令,作出的圖象及直線，由圖象可得：當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).當(dāng)或或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)晴：本題考查函數(shù)與單調(diào)性.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理. 恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.