Question

（08年全國卷Ⅰ）（本小題滿分12分）

雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)．已知成等差數(shù)列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為，右焦點(diǎn)

為，則．

不妨設(shè)　，

則　　，　　．

因?yàn)椤?IMG height=35 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090323/20090323093452008.gif' width=132>，　　且，

所以　，

于是得　．

又與同向，故，

所以　　．

解得　　，或（舍去）．

因此　　．

所以雙曲線的離心率．

（Ⅱ）由知，雙曲線方程可化為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①

由的斜率為知，直線的方程為．．．．．．．．．．．②

將②代入①并化簡，得．

設(shè)與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③

被雙曲線所截得的線段長．．．④

將③代入④并化簡得，而由有已知，故，．

所以雙曲線方程為：．