Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的圖像與軸相切，求證：對于任意互不相等的正實(shí)數(shù)，，都有.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.,(2)見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)函數(shù)，按和分類討論，確定的正負(fù)，從而確定單調(diào)性；

（2）由（1）知時有極值，才可能滿足題意，極大值為0，求得，.不妨設(shè)，則，等價于，即證：

令，由于，因此只要證得（）即可．

（1）函數(shù)的定義域為，.

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，由，得.

若，，單調(diào)遞增；

若，，單調(diào)遞減

綜合上述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，不滿足條件；

當(dāng)時，的極大值為，

由已知得，故，此時.

不妨設(shè)，則

等價于，即證：

令，

故在單調(diào)遞減，所以.

所以對于任意互不相等的正實(shí)數(shù)，都有成立