Question

已知ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且acosC，bcosB，cosA成等差數列．
（1）求角B的大��；
（2）若b=2，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由acosC，bcosB，ccosA為等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，利用正弦的化簡求出cosB的值，即可確定出B的度數；
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a與c，進而表示出三角形ABC周長，利用余弦函數的值域即可確定出周長的最大值．

解答： 解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差數列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
利用正弦定理化簡得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosB=

1

2

，
則B=60°；
（2）∵b=2，sinB=

3

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

3 2

=

4 3

3

，即a=

4 3

3

sinA，c=

4 3

3

sinC，
∵A+C=120°，即C=120°-A，
∴△ABC周長為a+b+c=

4 3

3

（sinA+sinC）+2=

4 3

3

[sinA+sin（120°-A）]+2=

4 3

3

×2sin60°cos（A-60°）+2=4cos（A-60°）+2，
∵0＜A＜120°，∴-60°＜A-60°＜60°，
∴

1

2

＜cos（A-60°）≤1，即4＜4cos（A-60°）+2≤6，
則△ABC周長的最大值為6．

點評：此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題關鍵．