Question

如圖，四邊形與均為菱形，，且.

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）連結(jié)FO.由四邊形ABCD為菱形，得，且O為AC中點(diǎn).

根據(jù)FA=FC，得到.. 

（Ⅱ）由四邊形與均為菱形，

得到得出

平面， .

（Ⅲ）二面角A-FC-B的余弦值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO.

因為四邊形ABCD為菱形，所以，且O為AC中點(diǎn).

又FA=FC，所以.             2分

因為，

所以.                               3分

（Ⅱ）證明：因為四邊形與均為菱形，

所以

因為

所以

又，

所以平面

又

所以.              6分

（Ⅲ）解：因為四邊形BDEF為菱形，且，所以為等邊三角形．

因為為中點(diǎn)，所以由（Ⅰ）知，故

.

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=2．因為四邊形ABCD為菱形，，則BD=2，所以O(shè)B=1，.

所以.      8分

所以.

設(shè)平面BFC的法向量為則有  所以

取，得.      12分

易知平面的法向量為.

由二面角A-FC-B是銳角，得

.

所以二面角A-FC-B的余弦值為.    14分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角的計算。

點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計算。證明過程中，往往需要將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題加以解答。本題解答，通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，簡化了繁瑣的證明過程，實現(xiàn)了“以算代證”，對計算能力要求較高。