Question

北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進行一次評估．該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（2）為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入

1

6

(x2-600)萬作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入

x

5

萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品改革后的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設每件定價為x元，可得提高價格后的銷售量，根據(jù)銷售的總收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價；
（2）依題意，x＞25時，不等式ax≥25×8+50+

1

6

（x²-600）+

1

5

x有解，等價于x＞25時，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解，利用基本不等式，我們可以求得結(jié)論．

解答： 解：（1）設每件定價為t元，依題意得（8-

x-25

1

×0.2）x≥25×8，
整理得t²-65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．
所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．
（2）依題意知當x＞25時，不等式ax≥25×8+50+

1

6

（x²-600）+

1

5

x有解，
等價于x＞25時，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解．
由于

150

x

+

1

6

x≥2 

150 x × x 6

=10，當且僅當

150

x

=

x

6

，即x=30時等號成立，所以a≥10.2．
當該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．

點評：解決實際問題的關(guān)鍵是讀懂題意，建立函數(shù)模型，同時應注意變量的取值應使實際問題有意義．