Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣ +3（﹣1≤x≤2）．
（1）若λ= 時，求函數f（x）的值域；
（2）若函數f（x）的最小值是1，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： （﹣1≤x≤2）

設 ，得g（t）=t2﹣2λt+3（ ）．

當 時， （ ）．

所以 ， ．

所以 ， ，

故函數f（x）的值域為[ ， ]

（2）解：由（1）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（ ）

①當 時， ，

令 ，得 ，不符合舍去；

②當 時， ，

令﹣λ2+3=1，得 ，或 ，不符合舍去；

③當λ＞2時，g（t）min=g（2）=﹣4λ+7，

令﹣4λ+7=1，得 ，不符合舍去．

綜上所述，實數λ的值為

【解析】（1）化簡 （﹣1≤x≤2），再利用換元法得g（t）=t2﹣2λt+3（ ）；從而代入λ= 求函數的值域；（2）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（ ），討論λ以確定函數的最小值及最小值點，從而求λ．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域和函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲担焕�用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．