Question

已知函數(shù)定義在R上.

（1）若可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和，設(shè)，

，求出的解析式；

（2）若對(duì)于恒成立，求m的取值范圍；

（3）若方程無(wú)實(shí)根，求m的取值范圍.

Answer 1

解：（1）假設(shè)①，其中偶函數(shù)，為奇函數(shù)，

則有，即②，

由①②解得，.

∵定義在R上，∴，都定義在R上.

∵，.

∴是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，∵，

∴，

. 由，則，

平方得，∴，

∴.

（2）∵關(guān)于單調(diào)遞增，∴.

∴對(duì)于恒成立，

∴對(duì)于恒成立，令，則，

∵，∴，故在上單調(diào)遞減，

∴，∴為m的取值范圍.        

（3）由（1）得，

若無(wú)實(shí)根，即①無(wú)實(shí)根，    

方程①的判別式.

1°當(dāng)方程①的判別式，即時(shí)，方程①無(wú)實(shí)根.

2°當(dāng)方程①的判別式，即時(shí)，

方程①有兩個(gè)實(shí)根，

即     ②，

只要方程②無(wú)實(shí)根，故其判別式，

即得③，且     ④，

∵，③恒成立，由④解得，   ∴③④同時(shí)成立得．

綜上，m的取值范圍為.