Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|=

3

．（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意

c a = 6 3 a= 3

∴b=1，∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|=

3

．
（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²
=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

(k≠0)≤3+

12

2×3+6

=4．
當(dāng)且僅當(dāng)9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=

3

，
綜上所述|AB|_max=2．∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取最大值S=

1

2

×|AB|max×

3

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．