Question

已知向量

p

=（sinx，

3

cosx），

q

=（cosx，cosx），定義函數(shù)f（x）=

p

• 

q

（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三邊長a，b，c成等比數(shù)列，且c²+ac-a²=bc，求邊a所對角A以及f（A）
的大�。�

Answer 1

分析：（1）先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理求得f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

．進而利用三角函數(shù)的周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)A的范圍確定2x+

π

3

的范圍，進而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值，答案可得．

解答：解：（1）f（x）=

p

•

q

=（sinx，

3

cosx）•（cosx，cosx）=sinxcosx+

3

cos²x
=

1

2

sin2x+

3

•

1+cos2x

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

．
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
（2）∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
又c²+ac-a²=bc．
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

ac+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

．
又∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
f（A）=sin（2×

π

3

+

π

3

）+

3

2

=sinπ+

3

2

=

3

2

．

點評：此題是個中檔題．主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和公式的化簡求值．考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力．