Question

在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)?，

所以 .                         ……………………………………1分

因?yàn)?平面平面，平面平面，

平面，

所以 平面.                   ………………………………………3分

（Ⅱ）解：取的中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?sub>，

所以 .

因?yàn)?平面平面，平面平面，平面，

所以 平面.                 ………………………………………4分

如圖，

以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，在平面內(nèi)過(guò)垂直于的直

線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè).由

直角梯形中可得，，

.

所以 ，.

設(shè)平面的法向量.

因?yàn)?

所以

即

令，則.

所以 .                  ………………………………………7分

取平面的一個(gè)法向量n.

所以 .

所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小為.

                                        ………………………………………9分

（Ⅲ）解：在棱上存在點(diǎn)使得∥平面，此時(shí). 理由如

下：                                   ………………………………………10分

取的中點(diǎn)，連接，，則 ∥，.

因?yàn)? ，

所以 .

因?yàn)? ∥，

所以 四邊形是平行四邊形.

所以 ∥.

因?yàn)? ，

所以 平面∥平面.            ………………………………………13分

因?yàn)?平面，

所以 ∥平面.                ………………………………………14分