Question

（1）已知矩陣，向量，
（Ⅰ）求矩陣A的特征值和對應的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A²α=β．
（2）在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A、B的極坐標分別為（1，0）、，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)，r＞0）
（Ⅰ）求直線AB的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線AB和曲線C只有一個交點，求r的值．
（3）設不等式|x-2|＞1的解集與關于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的最大值，以及取得最大值時x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）矩陣M的特征多項式為f（λ）==λ²-7λ+6，令f（λ）=0，能求出矩陣M的特征值和特征向量．
（Ⅱ）由矩陣，知A²=，設向量α=，由向量，A²α=β，能求出向量α．
（2）（Ⅰ）由點A、B的極坐標分別為（1，0）、，求出A，B的普通方程，由此能直線AB的直角坐標方程．
（Ⅱ）由曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)，r＞0），知曲線C的普通方程為x²+y²=r²．再由直線AB和曲線C只有一個交點，能求出r．
（3）（Ⅰ）解不等式|x-2|＞1，不等式x2-ax+b＞0的解集為{x|x＞3 或x＜1 }．由此能求出a和b．
（Ⅱ）由a=4，b=3，知f（x）=4+3，3≤x≤5．由（4+3）²=7x-3+24，由此能求出f（x）的最大值為和此時x值．
解答：解：（1）（Ⅰ）矩陣M的特征多項式為f（λ）==λ²-7λ+6，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為1和6．
當λ=1時，聯(lián)立，解得2x+3y=0
所以矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為．
當λ=6時，聯(lián)立，解得x=y
所以矩陣M的屬于特征值3的一個特征向量．
（Ⅱ）∵矩陣，∴=，
設向量α=，∵，向量，A²α=β，
∴，解得x=-1，y=1，
∴向量α=．
（2）（Ⅰ）∵點A、B的極坐標分別為（1，0）、，
∴點A，B的普通坐標為（1，0），（0，1），
∴直線AB的直角坐標方程為x+y-1=0．
（Ⅱ）∵曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)，r＞0），
∴曲線C的普通方程為x²+y²=r²．
∵直線AB和曲線C只有一個交點，
∴圓心（0，0）到直線AB的距離d==r，解得r=．
（3）（Ⅰ）解不等式|x-2|＞1，得x＞3 或x＜1，
故不等式|x-2|＞1的解集為{x|x＞3 或x＜1 }，
由題設知不等式x2-ax+b＞0的解集為{x|x＞3 或x＜1 }．
∴3+1=a，3×1=b
解得a=4，b=3．
（Ⅱ）∵a=4，b=3，
∴f（x）=4+3，3≤x≤5．
由（4+3）²=16x-48+45-9x+24
=7x-3+24
=7x-3+24
=7x-3+24
≤28-3+24=49，當且僅當x=4時取最大值．
∴f（x）的最大值為7，此時x=4．
點評：（1）考查矩陣的特征值和特征向量的求法；（2）考查極坐標與參數(shù)方程的應用；（3）考查不等式的解法及其應用．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．